Calcolo Esempi

$y = \ln (\sin (x))$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riordina i fattori di $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 1.4.3

$\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 1.4.4

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$f' (x) = \cot (x)$

Passaggio 2

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - \csc^{2} (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \csc^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\csc (x)$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\csc (x)$ .

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Passaggio 3.4

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Passaggio 3.6

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Passaggio 3.7

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Passaggio 3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Passaggio 3.9

Somma $1$ e $1$ .

$f''' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \csc^{2} (x)$ e $g (x) = \cot (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Passaggio 4.3

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\csc^{2} (x)$ per $\csc^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.4.1

Sposta $\csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Passaggio 4.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Passaggio 4.4.3

Somma $2$ e $2$ .

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\csc^{4} (x)$ .

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Passaggio 4.5.2

Riscrivi $- 1 \csc^{4} (x)$ come $- \csc^{4} (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Passaggio 4.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Passaggio 4.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Passaggio 4.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Passaggio 4.7

Sposta $2$ alla sinistra di $\cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Passaggio 4.8

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Passaggio 4.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Passaggio 4.10

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Passaggio 4.11

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Passaggio 4.12

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Passaggio 4.13

Somma $1$ e $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Passaggio 4.14

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Passaggio 4.15

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Passaggio 4.16

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 4.17

Somma $1$ e $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Passaggio 4.18

Semplifica.

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Passaggio 4.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Passaggio 4.18.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.18.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Passaggio 4.18.2.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Passaggio 4.18.3

Riordina i termini.

$f^{4} (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$