Calcolo Esempi

$y = 9 \tan (\frac{x}{3})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 \tan (\frac{x}{3})$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{3}$ .

$9 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$9 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{3}$ .

$9 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

$\frac{1}{3}$ e $9$ .

$\frac{9}{3} \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.2

$\frac{9}{3}$ e $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Scomponi $3$ da $9 \sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{3 (3 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (3 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (3 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.3.2.4

Dividi $3 \sec^{2} (\frac{x}{3})$ per $1$ .

$3 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \cdot 1$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = 3 \sec^{2} (\frac{x}{3})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \sec^{2} (\frac{x}{3})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (\frac{x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (\frac{x}{3})$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (\frac{x}{3})$ .

$3 (2 \sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{x}{3}$ .

$6 \sec (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 2.4.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$6 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{x}{3}$ .

$6 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 2.5

Eleva $\sec (\frac{x}{3})$ alla potenza di $1$ .

$6 (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3})) (\tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 2.6

Eleva $\sec (\frac{x}{3})$ alla potenza di $1$ .

$6 (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec^{1} (\frac{x}{3})) (\tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 {\sec (\frac{x}{3})}^{1 + 1} (\tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$6 \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 2.9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.10

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

$\frac{1}{3}$ e $6$ .

$\frac{6}{3} \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.10.2

$\frac{6}{3}$ e $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{6 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.10.3

$\frac{6 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ e $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{6 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.10.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.4.1

Scomponi $3$ da $6 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{3 (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.10.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.10.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.10.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.10.4.2.4

Dividi $2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$ per $1$ .

$2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 1$

Passaggio 2.12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec^{2} (\frac{x}{3})$ e $g (x) = \tan (\frac{x}{3})$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{x}{3}$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{3}$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ per $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 ({\sec (\frac{x}{3})}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 3.4.3

Somma $2$ e $2$ .

$2 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]) + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 3.5.2

$\frac{1}{3}$ e $\sec^{4} (\frac{x}{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} \cdot 1 + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}$ per $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (\frac{x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sec (\frac{x}{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \tan (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]))$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \tan (\frac{x}{3}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]))$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (\frac{x}{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \tan (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]))$

Passaggio 3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan (\frac{x}{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \cdot \tan (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\frac{x}{3}$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Passaggio 3.8.2

La derivata di $\sec (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Passaggio 3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\frac{x}{3}$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Passaggio 3.9

Eleva $\tan (\frac{x}{3})$ alla potenza di $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 (\tan^{1} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Passaggio 3.10

Eleva $\tan (\frac{x}{3})$ alla potenza di $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 (\tan^{1} (\frac{x}{3}) \tan^{1} (\frac{x}{3})) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Passaggio 3.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 {\tan (\frac{x}{3})}^{1 + 1} \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Passaggio 3.12

Somma $1$ e $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Passaggio 3.13

Eleva $\sec (\frac{x}{3})$ alla potenza di $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 3.14

Eleva $\sec (\frac{x}{3})$ alla potenza di $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec^{1} (\frac{x}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 3.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) {\sec (\frac{x}{3})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 3.16

Somma $1$ e $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Passaggio 3.17

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.18

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.1

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2}{3} \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.18.2

$\frac{2}{3}$ e $\tan^{2} (\frac{x}{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3})}{3} \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.18.3

$\frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ e $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.19

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} \cdot 1)$

Passaggio 3.20

Moltiplica $\frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ per $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3})$

Passaggio 3.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$

Passaggio 3.21.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.2.1

$2$ e $\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$

Passaggio 3.21.2.2

$2$ e $\frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 (2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3}$

Passaggio 3.21.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\sec^{4} (\frac{x}{3})]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\sec^{4} (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \sec (\frac{x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{2}{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{x}{3}$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.3.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{x}{3}$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{1}{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.7

$\frac{1}{3}$ e $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\frac{\sec (\frac{x}{3})}{3} \tan (\frac{x}{3}))) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.8

$\frac{\sec (\frac{x}{3})}{3}$ e $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) \frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.9

$\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ e $4$ .

$\frac{2}{3} (\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} \sec^{3} (\frac{x}{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.10

$\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3}$ e $\sec^{3} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4 \sec^{3} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.11

Moltiplica $\sec (\frac{x}{3})$ per $\sec^{3} (\frac{x}{3})$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.11.1

Sposta $\sec^{3} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sec^{3} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.11.2

Moltiplica $\sec^{3} (\frac{x}{3})$ per $\sec (\frac{x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.11.2.1

Eleva $\sec (\frac{x}{3})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sec^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{1} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.11.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sec (\frac{x}{3})}^{3 + 1} \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.11.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.12

Sposta $4$ alla sinistra di $\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4 \cdot (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.13

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{4 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{2 (4 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.14

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.2.15

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})]$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \tan^{2} (\frac{x}{3})$ e $g (x) = \sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})] + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (\frac{x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $\frac{x}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{4}} [\sec (u_{4})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 4.3.4.2

La derivata di $\sec (u_{4})$ rispetto a $u_{4}$ è $\sec (u_{4}) \tan (u_{4})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (u_{4}) \tan (u_{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 4.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $\frac{x}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 4.3.5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 4.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Passaggio 4.3.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (\frac{x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{5}$ come $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]))$

Passaggio 4.3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ è $n {u_{5}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 u_{5} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]))$

Passaggio 4.3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{5}$ con $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]))$

Passaggio 4.3.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{6}$ come $\frac{x}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{6}} [\tan (u_{6})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])))$

Passaggio 4.3.8.2

La derivata di $\tan (u_{6})$ rispetto a $u_{6}$ è $\sec^{2} (u_{6})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (u_{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])))$

Passaggio 4.3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{6}$ con $\frac{x}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])))$

Passaggio 4.3.9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]))))$

Passaggio 4.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.11

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{1}{3})) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.12

$\frac{1}{3}$ e $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\frac{\sec (\frac{x}{3})}{3} \tan (\frac{x}{3}))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.13

$\frac{\sec (\frac{x}{3})}{3}$ e $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) \frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.14

$\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ e $2$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 2}{3} \sec (\frac{x}{3})) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.15

$\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 2}{3}$ e $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 \sec (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.16

Eleva $\sec (\frac{x}{3})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.17

Eleva $\sec (\frac{x}{3})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec^{1} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 {\sec (\frac{x}{3})}^{1 + 1}}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.19

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.20

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{2 \cdot \tan (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.21

$\tan^{2} (\frac{x}{3})$ e $\frac{2 \tan (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.22

Moltiplica $\tan^{2} (\frac{x}{3})$ per $\tan (\frac{x}{3})$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.22.1

Sposta $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{\tan (\frac{x}{3}) \tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.22.2

Moltiplica $\tan (\frac{x}{3})$ per $\tan^{2} (\frac{x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.22.2.1

Eleva $\tan (\frac{x}{3})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{\tan^{1} (\frac{x}{3}) \tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.22.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{{\tan (\frac{x}{3})}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.22.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{\tan^{3} (\frac{x}{3}) (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.23

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan^{3} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \cdot \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.24

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{1}{3})))$

Passaggio 4.3.25

$\sec^{2} (\frac{x}{3})$ e $\frac{1}{3}$ .

Passaggio 4.3.26

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ e $2$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) \cdot 2}{3} \tan (\frac{x}{3})))$

Passaggio 4.3.27

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) \cdot 2}{3}$ e $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) \cdot 2 \tan (\frac{x}{3})}{3})$

Passaggio 4.3.28

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{2 \cdot \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3})$

Passaggio 4.3.29

$\sec^{2} (\frac{x}{3})$ e $\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3})$

Passaggio 4.3.30

Moltiplica $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ per $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.30.1

Sposta $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}))}{3})$

Passaggio 4.3.30.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{{\sec (\frac{x}{3})}^{2 + 2} (2 \tan (\frac{x}{3}))}{3})$

Passaggio 4.3.30.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{\sec^{4} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}))}{3})$

Passaggio 4.3.31

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{4} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3})$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4 (2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$

Passaggio 4.4.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 (\tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$

Passaggio 4.4.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 (\tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{9} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$

Passaggio 4.4.2.4

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4 (2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.4.2.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.4.2.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{9}$

Passaggio 4.4.2.7

Somma $\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$ e $\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$ .

$\frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + 2 \frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$

Passaggio 4.4.2.8

$2$ e $\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$ .

$\frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{2 (8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{9}$

Passaggio 4.4.2.9

Moltiplica $8$ per $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{16 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$