Calcolo Esempi

$y = \frac{12}{x} - \frac{4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{12}{x} - \frac{4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{12}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{12}{x}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 12 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{3}$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} - 4 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} - 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} - 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} - 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} - 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} - 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} - 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} - 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = - 12 x^{- 2} - 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} - 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + 12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + 12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1})$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{4}$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + 12 x^{- 4} + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 1.4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + 12 x^{- 4} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}$

Passaggio 1.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + 12 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + 12 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + 12 x^{- 4} - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})$

Passaggio 1.4.4.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + 12 x^{- 4} - x^{- 8} (4 x^{3})$

Passaggio 1.4.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + 12 x^{- 4} - 4 x^{- 8} x^{3}$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Sposta $x^{3}$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + 12 x^{- 4} - 4 (x^{3} x^{- 8})$

Passaggio 1.4.6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + 12 x^{- 4} - 4 x^{3 - 8}$

Passaggio 1.4.6.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$f' (x) = - 12 x^{- 2} + 12 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 12 \frac{1}{x^{2}} + 12 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 12 \frac{1}{x^{2}} + 12 (\frac{1}{x^{4}}) - 4 x^{- 5}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 12 \frac{1}{x^{2}} + 12 (\frac{1}{x^{4}}) - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1.5.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

$- 12$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 12}{x^{2}} + 12 (\frac{1}{x^{4}}) - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1.5.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{12}{x^{2}} + 12 (\frac{1}{x^{4}}) - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1.5.4.3

$12$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = - \frac{12}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1.5.4.4

$- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f' (x) = - \frac{12}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}} + \frac{- 4}{x^{5}}$

Passaggio 1.5.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{12}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}} - \frac{4}{x^{5}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{12}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}} - \frac{4}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{12}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 12 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 12 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 12 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 12 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 12 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $- 2$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{12}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + 12 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{4}$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + 12 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + 12 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + 12 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + 12 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + 12 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + 12 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + 12 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + 12 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + 12 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} + 12 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 4$ per $12$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} - 4 \frac{d}{d x} {(x^{5})}^{- 1}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $x^{5}$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} - 4 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5}))$

Passaggio 2.4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} - 4 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5})$

Passaggio 2.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $x^{5}$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} - 4 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5})$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} - 4 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} - 4 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.4.5.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} - 4 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} - 4 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Passaggio 2.4.7

Moltiplica $x^{- 10}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Sposta $x^{4}$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} - 4 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Passaggio 2.4.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} - 4 (- 5 x^{4 - 10})$

Passaggio 2.4.7.3

Sottrai $10$ da $4$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} - 4 (- 5 x^{- 6})$

Passaggio 2.4.8

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$f'' (x) = 24 x^{- 3} - 48 x^{- 5} + 20 x^{- 6}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 24 (\frac{1}{x^{3}}) - 48 x^{- 5} + 20 x^{- 6}$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 24 (\frac{1}{x^{3}}) - 48 \frac{1}{x^{5}} + 20 x^{- 6}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 24 (\frac{1}{x^{3}}) - 48 \frac{1}{x^{5}} + 20 (\frac{1}{x^{6}})$

Passaggio 2.5.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

$24$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{24}{x^{3}} - 48 \frac{1}{x^{5}} + 20 (\frac{1}{x^{6}})$

Passaggio 2.5.4.2

$- 48$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{24}{x^{3}} + \frac{- 48}{x^{5}} + 20 (\frac{1}{x^{6}})$

Passaggio 2.5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{24}{x^{3}} - \frac{48}{x^{5}} + 20 (\frac{1}{x^{6}})$

Passaggio 2.5.4.4

$20$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{24}{x^{3}} - \frac{48}{x^{5}} + \frac{20}{x^{6}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{24}{x^{3}} - \frac{48}{x^{5}} + \frac{20}{x^{6}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{6}}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{24}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{24}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f''' (x) = 24 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = 24 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{3}$ .

$f''' (x) = 24 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f''' (x) = 24 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$f''' (x) = 24 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f''' (x) = 24 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 24 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f''' (x) = 24 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f''' (x) = 24 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$f''' (x) = 24 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = 24 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f''' (x) = 24 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $- 3$ per $24$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{48}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} - 48 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} - 48 \frac{d}{d x} {(x^{5})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{5}$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} - 48 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} - 48 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{5}$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} - 48 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} - 48 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} - 48 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} - 48 (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} - 48 (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $x^{- 10}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Sposta $x^{4}$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} - 48 (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} - 48 (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3.7.3

Sottrai $10$ da $4$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} - 48 (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 5$ per $- 48$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{6}})$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{6}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{20}{x^{6}}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + 20 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{6}})$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{6}}$ come ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + 20 \frac{d}{d x} ({(x^{6})}^{- 1})$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $x^{6}$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + 20 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Passaggio 3.4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + 20 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{6})$

Passaggio 3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $x^{6}$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + 20 (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{6})$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + 20 (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{6})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + 20 (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + 20 (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + 20 (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $x^{- 12}$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Sposta $x^{5}$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + 20 (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Passaggio 3.4.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + 20 (- 6 x^{5 - 12})$

Passaggio 3.4.7.3

Sottrai $12$ da $5$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} + 20 (- 6 x^{- 7})$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $- 6$ per $20$ .

$f''' (x) = - 72 x^{- 4} + 240 x^{- 6} - 120 x^{- 7}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - 72 \frac{1}{x^{4}} + 240 x^{- 6} - 120 x^{- 7}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - 72 \frac{1}{x^{4}} + 240 (\frac{1}{x^{6}}) - 120 x^{- 7}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - 72 \frac{1}{x^{4}} + 240 (\frac{1}{x^{6}}) - 120 \frac{1}{x^{7}}$

Passaggio 3.5.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

$- 72$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 72}{x^{4}} + 240 (\frac{1}{x^{6}}) - 120 \frac{1}{x^{7}}$

Passaggio 3.5.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{72}{x^{4}} + 240 (\frac{1}{x^{6}}) - 120 \frac{1}{x^{7}}$

Passaggio 3.5.4.3

$240$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f''' (x) = - \frac{72}{x^{4}} + \frac{240}{x^{6}} - 120 \frac{1}{x^{7}}$

Passaggio 3.5.4.4

$- 120$ e $\frac{1}{x^{7}}$ .

$f''' (x) = - \frac{72}{x^{4}} + \frac{240}{x^{6}} + \frac{- 120}{x^{7}}$

Passaggio 3.5.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{72}{x^{4}} + \frac{240}{x^{6}} - \frac{120}{x^{7}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{72}{x^{4}} + \frac{240}{x^{6}} - \frac{120}{x^{7}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{72}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x^{6}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{120}{x^{7}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{72}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{72}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{72}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 72 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = - 72 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - 72 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{4}$ .

$f^{4} (x) = - 72 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = - 72 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{4}$ .

$f^{4} (x) = - 72 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f^{4} (x) = - 72 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 72 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f^{4} (x) = - 72 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 72 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$f^{4} (x) = - 72 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - 72 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$f^{4} (x) = - 72 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $- 4$ per $- 72$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (\frac{240}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{240}{x^{6}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $240$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{240}{x^{6}}$ rispetto a $x$ è $240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + 240 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{6}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{6}}$ come ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + 240 \frac{d}{d x} ({(x^{6})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{6}$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + 240 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + 240 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{6}$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + 240 (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + 240 (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{6})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + 240 (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + 240 (- x^{- 12} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + 240 (- 6 x^{- 12} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $x^{- 12}$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Sposta $x^{5}$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + 240 (- 6 (x^{5} x^{- 12})) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + 240 (- 6 x^{5 - 12}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3.7.3

Sottrai $12$ da $5$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} + 240 (- 6 x^{- 7}) + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $- 6$ per $240$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} + \frac{d}{d x} (- \frac{120}{x^{7}})$

Passaggio 4.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{120}{x^{7}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Poiché $- 120$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{120}{x^{7}}$ rispetto a $x$ è $- 120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} - 120 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{7}}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{7}}$ come ${(x^{7})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} - 120 \frac{d}{d x} {(x^{7})}^{- 1}$

Passaggio 4.4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $x^{7}$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} - 120 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Passaggio 4.4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} - 120 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{7})$

Passaggio 4.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $x^{7}$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} - 120 (- {(x^{7})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{7})$

Passaggio 4.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} - 120 (- {(x^{7})}^{- 2} (7 x^{6}))$

Passaggio 4.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{7})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} - 120 (- x^{7 \cdot - 2} (7 x^{6}))$

Passaggio 4.4.5.2

Moltiplica $7$ per $- 2$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} - 120 (- x^{- 14} (7 x^{6}))$

Passaggio 4.4.6

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} - 120 (- 7 x^{- 14} x^{6})$

Passaggio 4.4.7

Moltiplica $x^{- 14}$ per $x^{6}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.7.1

Sposta $x^{6}$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} - 120 (- 7 (x^{6} x^{- 14}))$

Passaggio 4.4.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} - 120 (- 7 x^{6 - 14})$

Passaggio 4.4.7.3

Sottrai $14$ da $6$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} - 120 (- 7 x^{- 8})$

Passaggio 4.4.8

Moltiplica $- 7$ per $- 120$ .

$f^{4} (x) = 288 x^{- 5} - 1440 x^{- 7} + 840 x^{- 8}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = 288 (\frac{1}{x^{5}}) - 1440 x^{- 7} + 840 x^{- 8}$

Passaggio 4.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = 288 (\frac{1}{x^{5}}) - 1440 \frac{1}{x^{7}} + 840 x^{- 8}$

Passaggio 4.5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = 288 (\frac{1}{x^{5}}) - 1440 \frac{1}{x^{7}} + 840 (\frac{1}{x^{8}})$

Passaggio 4.5.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

$288$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{288}{x^{5}} - 1440 \frac{1}{x^{7}} + 840 (\frac{1}{x^{8}})$

Passaggio 4.5.4.2

$- 1440$ e $\frac{1}{x^{7}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{288}{x^{5}} + \frac{- 1440}{x^{7}} + 840 (\frac{1}{x^{8}})$

Passaggio 4.5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = \frac{288}{x^{5}} - \frac{1440}{x^{7}} + 840 (\frac{1}{x^{8}})$

Passaggio 4.5.4.4

$840$ e $\frac{1}{x^{8}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{288}{x^{5}} - \frac{1440}{x^{7}} + \frac{840}{x^{8}}$