Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x - 3}{2 x - 8}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x - 3$ e $g (x) = 2 x - 8$ .

$\frac{(2 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(2 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x - 8) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x - 8) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $2 x - 8$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 8) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (2 + 0)}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) \cdot 2}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - 2 (2 x - 3)}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 8 - 2 (2 x - 3)}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 8 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Combina i termini opposti in $2 (2 x) + 2 \cdot - 8 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Sottrai $2 (2 x)$ da $2 (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot - 8 + 0 - 2 \cdot - 3}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Somma $2 \cdot - 8$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot - 8 - 2 \cdot - 3}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{- 16 - 2 \cdot - 3}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$\frac{- 16 + 6}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Somma $- 16$ e $6$ .

$\frac{- 10}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{10}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Scomponi $2$ da $2 x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$- \frac{10}{{(2 (x) - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.2

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$- \frac{10}{{(2 x + 2 \cdot - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$- \frac{10}{{(2 (x - 4))}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Applica la regola del prodotto a $2 (x - 4)$ .

$- \frac{10}{2^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{10}{4 {(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Elimina il fattore comune di $10$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$- \frac{2 (5)}{4 {(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $4 {(x - 4)}^{2}$ .

$- \frac{2 (5)}{2 (2 {(x - 4)}^{2})}$

Passaggio 1.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 5}{2 (2 {(x - 4)}^{2})}$

Passaggio 1.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = - \frac{5}{2 {(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $- \frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5}{2 {(x - 4)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ come ${({(x - 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{({(x - 4)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 4)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 4$ .

$- \frac{5}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- \frac{5}{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 4$ .

$- \frac{5}{2} (- 2 {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 (\frac{5}{2}) ({(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 2.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$2$ e $\frac{5}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2} ({(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{10}{2} ({(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 2.3.2.3

${(x - 4)}^{- 3}$ e $\frac{10}{2}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{- 3} \cdot 10}{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 2.3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.1

Sposta $10$ alla sinistra di ${(x - 4)}^{- 3}$ .

$\frac{10 \cdot {(x - 4)}^{- 3}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 2.3.2.4.2

Sposta ${(x - 4)}^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{2 {(x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 2.3.2.5

Elimina il fattore comune di $10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 2.3.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(x - 4)}^{3})} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 2.3.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 2.3.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} (1 + 0)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} \cdot 1$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $\frac{5}{{(x - 4)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{{(x - 4)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{{(x - 4)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}]$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}$ come ${({(x - 4)}^{3})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{({(x - 4)}^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 4)}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 4$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$5 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 4$ .

$5 (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$- 15 ({(x - 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4} (1 + 0)$

Passaggio 3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4} \cdot 1$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

$- 15$ e $\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$ .

$\frac{- 15}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{15}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{15}{{(x - 4)}^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}]$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}]$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$ come ${({(x - 4)}^{4})}^{- 1}$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [{({(x - 4)}^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 4)}^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{4 \cdot - 1}]$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 4}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 4$ .

$- 15 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$- 15 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 4$ .

$- 15 (- 4 {(x - 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 4$ per $- 15$ .

$60 ({(x - 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5} (1 + 0)$

Passaggio 4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5} \cdot 1$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $60$ per $1$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 \frac{1}{{(x - 4)}^{5}}$

Passaggio 4.4.2

$60$ e $\frac{1}{{(x - 4)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{60}{{(x - 4)}^{5}}$