Calcolo Esempi

$y = \sqrt{4 x - 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 x - 1}$ come ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.11

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

Passaggio 1.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

Passaggio 1.13.2

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.14.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x - 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 1$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 2.8

${(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Sposta ${(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 2.10

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 2.11

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 2.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 2.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 2.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 2.14

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.15

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.17

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.18

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 + 0)$

Passaggio 2.19

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.19.1

Somma $4$ e $0$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 4$

Passaggio 2.19.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.19.3

$- 4$ e $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.19.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ come ${({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Passaggio 3.1.2.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

Passaggio 3.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ e $g (x) = 4 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x - 1$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 1$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.8

${(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$- 4 (- \frac{3 \cdot {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.9.2

Sposta ${(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.9.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$4 (\frac{3}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 3.10

$\frac{3}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{3 \cdot 4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.11

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.12

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.14

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.15

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.17

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.18

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 + 0)$

Passaggio 3.19

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.19.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 4$

Passaggio 3.19.2

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{6 \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.19.3

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f''' (x) = \frac{24}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{24}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}]$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ come ${({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$24 \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.2.1

$\frac{5}{2}$ e $- 1$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{- 5}{2}}]$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ e $g (x) = 4 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x - 1$ .

$24 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{5}{2}$ .

$24 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 1$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $- 5$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.8

${(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ e $\frac{5}{2}$ .

$24 (- \frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Sposta $5$ alla sinistra di ${(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$24 (- \frac{5 \cdot {(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.9.2

Sposta ${(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 (- \frac{5}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.9.3

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$- 24 (\frac{5}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Passaggio 4.10

$\frac{5}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$ e $- 24$ .

$\frac{5 \cdot - 24}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 4.11

Moltiplica $5$ per $- 24$ .

$\frac{- 120}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 4.12

Scomponi $2$ da $- 120$ .

$\frac{2 \cdot - 60}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 4.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 60}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}})} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 4.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 60}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 4.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 4.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 4.15

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.16

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.18

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.19

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 + 0)$

Passaggio 4.20

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.20.1

Somma $4$ e $0$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 4$

Passaggio 4.20.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.20.3

$- 4$ e $\frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.20.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.20.4.1

Moltiplica $- 4$ per $60$ .

$\frac{- 240}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.20.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{240}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$