Calcolo Esempi

$y = x \sqrt{9 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{9 - x^{2}}$ come ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 9 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.8.3

Sposta ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.8.4

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2}) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.10

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.14.2

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.18

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.20.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.20.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.22

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.23

Moltiplica ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.24

Per scrivere ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26

Moltiplica ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.26.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26.3

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 9 - x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.27

Semplifica ${(9 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 9 - x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.28

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.29

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = - 2 x^{2} + 9$ e $g (x) = {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 9) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 9) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 9) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 9) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 9) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.4.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (9)) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.4.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.4.6

Somma $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = - x^{2} + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(- x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.10.3

Sposta ${(- x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (9)))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (9)))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.15

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.16

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.16.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.16.3

$\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.16.4

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.17

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Scomponi $2$ da $2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.17.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.17.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) \frac{- x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 9) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.19

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 9) (\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.20

Moltiplica $- 2 x^{2} + 9$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 9) (\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 9) (\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.2

Moltiplica $- 2 x^{2} + 9$ per $\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 9) x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.3

Per scrivere $- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} + 9) x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.4

$- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x$ e $\frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} + 9) x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 9) x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6

Riscrivi $\frac{- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 9) x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.6.1

Scomponi $x$ da $- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 9) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.6.1.1

Scomponi $x$ da $- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} + 9) x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.1.2

Scomponi $x$ da $(- 2 x^{2} + 9) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.1.3

Scomponi $x$ da $x (- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.2

Moltiplica ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.6.2.1

Sposta ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 (- x^{2} + 9) - 2 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.3

Semplifica $- 4 {(- x^{2} + 9)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 (- x^{2} + 9) - 2 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9 - 2 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} - 4 \cdot 9 - 2 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.6

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} - 36 - 2 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} - 36 + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.1.6.8

Somma $- 36$ e $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.1

Riscrivi $\frac{\frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 9}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 9}$

Passaggio 2.21.2.2

Moltiplica $\frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{- x^{2} + 9}$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 9)}$

Passaggio 2.21.2.3

Moltiplica ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ per $- x^{2} + 9$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.1

Moltiplica ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ per $- x^{2} + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.1.1

Eleva $- x^{2} + 9$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 9)}$

Passaggio 2.21.2.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.21.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.21.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.21.2.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x (2 x^{2} - 27)$ e $g (x) = {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (2 x^{2} - 27)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{({(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (2 x^{2} - 27)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (2 x^{2} - 27)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (2 x^{2} - 27)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 2 x^{2} - 27$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 27) + (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27)) + (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27)) + (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 27)) + (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x + \frac{d}{d x} (- 27)) + (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.4.5

Poiché $- 27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x + 0) + (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.4.6

Somma $4 x$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x) + (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (4 (x \cdot x) + (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (4 (x \cdot x) + (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{1 + 1} + (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} - 27) \cdot 1) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Moltiplica $2 x^{2} - 27$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + 2 x^{2} - 27) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.8.3.2

Somma $4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - x (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = - x^{2} + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2} + 9$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - x (2 x^{2} - 27) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - x (2 x^{2} - 27) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2} + 9$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - x (2 x^{2} - 27) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.10

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - x (2 x^{2} - 27) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.11

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - x (2 x^{2} - 27) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - x (2 x^{2} - 27) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - x (2 x^{2} - 27) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.13.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - x (2 x^{2} - 27) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

$\frac{3}{2}$ e ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - x (2 x^{2} - 27) (\frac{3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.14.2

$\frac{3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - \frac{3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.15

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - \frac{3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((2 x^{2} - 27) (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.16

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - \frac{3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((2 x^{2} - 27) (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.17

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - \frac{3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((2 x^{2} - 27) (- (2 x) + \frac{d}{d x} (9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.18

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - \frac{3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((2 x^{2} - 27) (- 2 x + \frac{d}{d x} (9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.19

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - \frac{3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((2 x^{2} - 27) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.20

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.20.1

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) - \frac{3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((2 x^{2} - 27) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.20.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + 2 (\frac{3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2}) \cdot ((2 x^{2} - 27) x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.20.3

$2$ e $\frac{3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + \frac{2 (3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot ((2 x^{2} - 27) x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.20.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + \frac{6 ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot ((2 x^{2} - 27) x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.20.5

$x$ e $\frac{6 ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + \frac{x (6 ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x))}{2} \cdot (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.21

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + \frac{x \cdot x (6 ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.22

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + \frac{x \cdot x (6 ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.23

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + \frac{x^{1 + 1} (6 ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.24

Somma $1$ e $1$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + \frac{x^{2} (6 ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.25

Scomponi $2$ da $x^{2} (6 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + \frac{2 (x^{2} (3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.26

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.26.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + \frac{2 (x^{2} (3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)} \cdot (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.26.2

Elimina il fattore comune.

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + \frac{2 (x^{2} (3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1} \cdot (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.26.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + \frac{x^{2} (3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}{1} \cdot (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.26.4

Dividi $x^{2} (3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + x^{2} (3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}) (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.27

Scomponi ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + x^{2} (3 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}) (2 x^{2} - 27)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.27.1

Riordina $x^{2}$ e $3$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27) + 3 \cdot (x^{2} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} - 27))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.27.2

Scomponi ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 27)$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} - 27)) + 3 \cdot (x^{2} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} - 27))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.27.3

Scomponi ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ da $3 \cdot x^{2} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} - 27)$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} - 27)) + {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot (x^{2} (2 x^{2} - 27)))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.27.4

Scomponi ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} - 27)) + {(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot x^{2} (2 x^{2} - 27))$ .

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} - 27) + 3 \cdot (x^{2} (2 x^{2} - 27)))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.28

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.28.1

Elimina il fattore comune.

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} - 27) + 3 \cdot (x^{2} (2 x^{2} - 27)))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.28.2

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} ((- x^{2} + 9) (6 x^{2} - 27) + 3 \cdot (x^{2} (2 x^{2} - 27)))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.29

Semplifica.

$f''' (x) = \frac{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} ((- x^{2} + 9) (6 x^{2} - 27) + 3 \cdot (x^{2} (2 x^{2} - 27)))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Passaggio 3.30

Sposta ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f''' (x) = \frac{(- x^{2} + 9) (6 x^{2} - 27) + 3 x^{2} (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3} {(- x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.31

Moltiplica ${(- x^{2} + 9)}^{3}$ per ${(- x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.31.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = \frac{(- x^{2} + 9) (6 x^{2} - 27) + 3 x^{2} (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3 - \frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.31.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{(- x^{2} + 9) (6 x^{2} - 27) + 3 x^{2} (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.31.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{(- x^{2} + 9) (6 x^{2} - 27) + 3 x^{2} (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.31.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (x) = \frac{(- x^{2} + 9) (6 x^{2} - 27) + 3 x^{2} (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Passaggio 3.31.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.31.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{(- x^{2} + 9) (6 x^{2} - 27) + 3 x^{2} (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{6 - 1}{2}}}$

Passaggio 3.31.5.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$f''' (x) = \frac{(- x^{2} + 9) (6 x^{2} - 27) + 3 x^{2} (2 x^{2} - 27)}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.32.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{(- x^{2} + 9) (6 x^{2} - 27) + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.32.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.32.2.1.1

Espandi $(- x^{2} + 9) (6 x^{2} - 27)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.32.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{- x^{2} (6 x^{2} - 27) + 9 (6 x^{2} - 27) + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{- x^{2} (6 x^{2}) - x^{2} \cdot - 27 + 9 (6 x^{2} - 27) + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{- x^{2} (6 x^{2}) - x^{2} \cdot - 27 + 9 (6 x^{2}) + 9 \cdot - 27 + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.32.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.32.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f''' (x) = \frac{- 1 \cdot (6 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot - 27 + 9 (6 x^{2}) + 9 \cdot - 27 + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.32.2.1.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{- 1 \cdot (6 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot - 27 + 9 (6 x^{2}) + 9 \cdot - 27 + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = \frac{- 1 \cdot (6 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot - 27 + 9 (6 x^{2}) + 9 \cdot - 27 + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.2.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 1 \cdot (6 x^{4}) - x^{2} \cdot - 27 + 9 (6 x^{2}) + 9 \cdot - 27 + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} - x^{2} \cdot - 27 + 9 (6 x^{2}) + 9 \cdot - 27 + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.2.1.4

Moltiplica $- 27$ per $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 27 x^{2} + 9 (6 x^{2}) + 9 \cdot - 27 + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.2.1.5

Moltiplica $6$ per $9$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 27 x^{2} + 54 x^{2} + 9 \cdot - 27 + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.2.1.6

Moltiplica $9$ per $- 27$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 27 x^{2} + 54 x^{2} - 243 + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.2.2

Somma $27 x^{2}$ e $54 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 81 x^{2} - 243 + 3 x^{2} (2 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 81 x^{2} - 243 + 3 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.32.2.1.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 81 x^{2} - 243 + 3 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 81 x^{2} - 243 + 3 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.4.3

Somma $2$ e $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 81 x^{2} - 243 + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 81 x^{2} - 243 + 6 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 27}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.1.6

Moltiplica $- 27$ per $3$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 81 x^{2} - 243 + 6 x^{4} - 81 x^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.2

Combina i termini opposti in $- 6 x^{4} + 81 x^{2} - 243 + 6 x^{4} - 81 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.32.2.2.1

Somma $- 6 x^{4}$ e $6 x^{4}$ .

$f''' (x) = \frac{81 x^{2} - 243 + 0 - 81 x^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.2.2

Somma $81 x^{2} - 243$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{81 x^{2} - 243 - 81 x^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.2.3

Sottrai $81 x^{2}$ da $81 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{0 - 243}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.2.2.4

Sottrai $243$ da $0$ .

$f''' (x) = \frac{- 243}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.32.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{243}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 4.1.1

Poiché $- 243$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{243}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- 243 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - 243 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ come ${({(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - 243 \frac{d}{d x} {({(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 243 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 4.1.2.2.2.1

$\frac{5}{2}$ e $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 243 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}$

Passaggio 4.1.2.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 243 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{\frac{- 5}{2}}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - 243 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ e $g (x) = - x^{2} + 9$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2} + 9$ .

$f^{4} (x) = - 243 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 243 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2} + 9$ .

$f^{4} (x) = - 243 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 243 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 243 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (x) = - 243 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f^{4} (x) = - 243 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $- 5$ .

$f^{4} (x) = - 243 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - 243 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 9)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.7.2

${(- x^{2} + 9)}^{- \frac{7}{2}}$ e $\frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 243 (- \frac{{(- x^{2} + 9)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.7.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.7.3.1

Sposta $5$ alla sinistra di ${(- x^{2} + 9)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 243 (- \frac{5 \cdot {(- x^{2} + 9)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.7.3.2

Sposta ${(- x^{2} + 9)}^{- \frac{7}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 243 (- \frac{5}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 243$ .

$f^{4} (x) = 243 (\frac{5}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))$

Passaggio 4.7.4

$\frac{5}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$ e $243$ .

$f^{4} (x) = \frac{5 \cdot 243}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)$

Passaggio 4.7.5

Moltiplica $5$ per $243$ .

$f^{4} (x) = \frac{1215}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1215}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))$

Passaggio 4.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1215}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9))$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f^{4} (x) = \frac{1215}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (9))$

Passaggio 4.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1215}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (9))$

Passaggio 4.12

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{1215}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- 2 x + 0)$

Passaggio 4.13

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.13.1

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{1215}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Passaggio 4.13.2

$- 2$ e $\frac{1215}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2 \cdot 1215}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}} \cdot x$

Passaggio 4.13.3

Moltiplica $- 2$ per $1215$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2430}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}} \cdot x$

Passaggio 4.13.4

$\frac{- 2430}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$ e $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2430 x}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.13.5

Scomponi $2$ da $- 2430 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1215 x)}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.14

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.14.1

Scomponi $2$ da $2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1215 x)}{2 ({(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}})}$

Passaggio 4.14.2

Elimina il fattore comune.

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1215 x)}{2 {(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.14.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{4} (x) = \frac{- 1215 x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{1215 x}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$