Calcolo Esempi

$5 x {(x + 4)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x {(x + 4)}^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x {(x + 4)}^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(x + 4)}^{3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 4)}^{3}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}] + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 4$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [4])) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} \cdot 1) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica ${(x + 4)}^{3}$ per $1$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2})) + 5 {(x + 4)}^{3}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 (x ({(x + 4)}^{2})) + 5 {(x + 4)}^{3}$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $5 {(x + 4)}^{2}$ da $15 x {(x + 4)}^{2} + 5 {(x + 4)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $5 {(x + 4)}^{2}$ da $15 x {(x + 4)}^{2}$ .

$5 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 5 {(x + 4)}^{3}$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $5 {(x + 4)}^{2}$ da $5 {(x + 4)}^{3}$ .

$5 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 5 {(x + 4)}^{2} (x + 4)$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $5 {(x + 4)}^{2}$ da $5 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 5 {(x + 4)}^{2} (x + 4)$ .

$5 {(x + 4)}^{2} (3 x + x + 4)$

Passaggio 1.5.4

Somma $3 x$ e $x$ .

$5 {(x + 4)}^{2} (4 x + 4)$

Passaggio 1.5.5

Riscrivi ${(x + 4)}^{2}$ come $(x + 4) (x + 4)$ .

$5 ((x + 4) (x + 4)) (4 x + 4)$

Passaggio 1.5.6

Espandi $(x + 4) (x + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) (4 x + 4)$

Passaggio 1.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) (4 x + 4)$

Passaggio 1.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

Passaggio 1.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

Passaggio 1.5.7.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$5 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

Passaggio 1.5.7.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$5 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) (4 x + 4)$

Passaggio 1.5.7.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$5 (x^{2} + 8 x + 16) (4 x + 4)$

Passaggio 1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$(5 x^{2} + 5 (8 x) + 5 \cdot 16) (4 x + 4)$

Passaggio 1.5.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.9.1

Moltiplica $8$ per $5$ .

$(5 x^{2} + 40 x + 5 \cdot 16) (4 x + 4)$

Passaggio 1.5.9.2

Moltiplica $5$ per $16$ .

$(5 x^{2} + 40 x + 80) (4 x + 4)$

Passaggio 1.5.10

Espandi $(5 x^{2} + 40 x + 80) (4 x + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$5 x^{2} (4 x) + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.11.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 \cdot 4 x^{2} x + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.11.2.1

Sposta $x$ .

$5 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.11.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \cdot 4 x^{1 + 2} + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$5 \cdot 4 x^{3} + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.3

Moltiplica $5$ per $4$ .

$20 x^{3} + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.4

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 40 \cdot 4 x \cdot x + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.11.6.1

Sposta $x$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 40 \cdot 4 (x \cdot x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 40 \cdot 4 x^{2} + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.7

Moltiplica $40$ per $4$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 160 x^{2} + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.8

Moltiplica $4$ per $40$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 160 x^{2} + 160 x + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.9

Moltiplica $4$ per $80$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 160 x^{2} + 160 x + 320 x + 80 \cdot 4$

Passaggio 1.5.11.10

Moltiplica $80$ per $4$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 160 x^{2} + 160 x + 320 x + 320$

Passaggio 1.5.12

Somma $20 x^{2}$ e $160 x^{2}$ .

$20 x^{3} + 180 x^{2} + 160 x + 320 x + 320$

Passaggio 1.5.13

Somma $160 x$ e $320 x$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 180 x^{2} + 480 x + 320$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x^{3} + 180 x^{2} + 480 x + 320$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $180$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $180 x^{2}$ rispetto a $x$ è $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$60 x^{2} + 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $180$ .

$60 x^{2} + 360 x + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [480 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $480$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $480 x$ rispetto a $x$ è $480 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} + 360 x + 480 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [320]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$60 x^{2} + 360 x + 480 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [320]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $480$ per $1$ .

$60 x^{2} + 360 x + 480 + \frac{d}{d x} [320]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $320$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $320$ rispetto a $x$ è $0$ .

$60 x^{2} + 360 x + 480 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $60 x^{2} + 360 x + 480$ e $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 360 x + 480$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $60 x^{2} + 360 x + 480$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $60 x^{2}$ rispetto a $x$ è $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [360 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $360$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $360 x$ rispetto a $x$ è $360 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x + 360 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [480]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$120 x + 360 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [480]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $360$ per $1$ .

$120 x + 360 + \frac{d}{d x} [480]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $480$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $480$ rispetto a $x$ è $0$ .

$120 x + 360 + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $120 x + 360$ e $0$ .

$f''' (x) = 120 x + 360$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $120 x + 360$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [360]$ .

$\frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [360]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $120$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $120 x$ rispetto a $x$ è $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [360]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [360]$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $120$ per $1$ .

$120 + \frac{d}{d x} [360]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $360$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $360$ rispetto a $x$ è $0$ .

$120 + 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $120$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 120$