Calcolo Esempi

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{t^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{t})}^{3} d t$

Passaggio 1

$\frac{1}{t^{2}}$ e ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2

Sia $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Allora $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , quindi $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{t}$ come $t^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Passaggio 2.1.4.2

Sottrai $\frac{1}{t^{2}}$ da $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 1 + \frac{1}{t}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u_{lower} = 1 + 1 \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 2.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 1 + \frac{1}{t}$ .

$u_{upper} = 1 + \frac{1}{1}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Dividi $1$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{3}^{2} - u^{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{3}^{2} u^{3} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{3}^{2})$

Passaggio 5

$\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{3}^{2})$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{u^{4}}{4}$ per $2$ e per $3$ .

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{3^{4}}{4})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$- (\frac{16}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{3^{4}}{4})$

Passaggio 6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{3^{4}}{4})$

Passaggio 6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{4}{1} - \frac{3^{4}}{4})$

Passaggio 6.2.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$- (4 - \frac{3^{4}}{4})$

Passaggio 6.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$- (4 - \frac{81}{4})$

Passaggio 6.2.4

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})$

Passaggio 6.2.5

$4$ e $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})$

Passaggio 6.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{4 \cdot 4 - 81}{4}$

Passaggio 6.2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.7.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- \frac{16 - 81}{4}$

Passaggio 6.2.7.2

Sottrai $81$ da $16$ .

$- \frac{- 65}{4}$

Passaggio 6.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{65}{4}$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{65}{4})$

Passaggio 6.2.10

Moltiplica $\frac{65}{4}$ per $1$ .

$\frac{65}{4}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{65}{4}$

Forma decimale:

$16.25$

Forma numero misto:

$16 \frac{1}{4}$

Passaggio 8