Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{2 x \sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)} d x$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})} d x$

Passaggio 1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}} d x$

Passaggio 1.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} d x$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{1}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}} d x$

Passaggio 1.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x^{\frac{3}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 3.2.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Passaggio 3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$ come $\frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 5.2.5

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$