Calcolo Esempi

$\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $\cos (t)$ da $\sin^{2} (t) \cos (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 3

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ a $\csc^{2} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Poiché la derivata di $- \cot (t)$ è $\csc^{2} (t)$ , l'integrale di $\csc^{2} (t)$ è $- \cot (t)$ .

$- \cot (t)]_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $- \cot (t)$ per $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ e per $\frac{π}{6}$ .

$(- \cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))) + \cot (\frac{π}{6})$

Passaggio 5.2

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ . Perciò, $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))$ è $\frac{i \sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \cot (\frac{π}{6})$

Passaggio 6

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{6})$ è $\sqrt{3}$ .

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}$

Passaggio 7