Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos (x)} d x$

Passaggio 1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (x)$ in $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{3 + 2 (\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

Passaggio 2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 (- \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

Passaggio 3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 4

Usa l'identità pitagorica per trasformare $3$ in $3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $2 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ da $3 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\sin (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

Passaggio 5.2

Somma $3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ e $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 6

Moltiplica l'argomento per $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Combina.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ per $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi $\sec (\frac{x}{2})$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 8.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 8.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Scomponi $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ da $5 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 8.4.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 8.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 8.5

Riscrivi $\sec (\frac{x}{2})$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Passaggio 8.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 8.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 8.8

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$ e $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 9

Converti da $\frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ a $\tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 10

Sia $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} (1 \cdot 2) d u_{1}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot 2 d u_{1}$

Passaggio 11.3

$\frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})}$ e $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 11.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 12

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 13

Sia $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 13.1

Sia $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 13.1.1

Differenzia $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Passaggio 13.1.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Passaggio 13.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{5 + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 14

Riscrivi $5$ come ${\sqrt{5}}^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 15

L'integrale di $\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C)$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ e $\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})$ .

$2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

Passaggio 16.2

Riscrivi $2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$ come $2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$ .

$2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Passaggio 16.3

$2$ e $\frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (u_{1})$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (u_{1}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Passaggio 18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Moltiplica $\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + C$

Passaggio 18.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 18.2.1

Moltiplica $\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + C$

Passaggio 18.2.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + C$

Passaggio 18.2.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + C$

Passaggio 18.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + C$

Passaggio 18.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + C$

Passaggio 18.2.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 18.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Passaggio 18.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Passaggio 18.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

Passaggio 18.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 18.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

Passaggio 18.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{1}} + C$

Passaggio 18.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5} + C$

Passaggio 18.3

Riordina i termini.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} \tan (\frac{1}{2} x)) + C$