Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x} \cdot \ln (\frac{1}{x}) d x$

Passaggio 1

$\frac{1}{x}$ e $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\int \frac{\ln (\frac{1}{x})}{x} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . Allora $d u_{2} = - \frac{1}{x} d x$ , quindi $- d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.1.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{x}$ .

$1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 2.1.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x (- x^{- 2})$

Passaggio 2.1.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- (x^{1} x^{- 2})$

Passaggio 2.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- x^{1 - 2}$

Passaggio 2.1.8

Sottrai $2$ da $1$ .

$- x^{- 1}$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 5

Riscrivi $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ come $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (\frac{1}{x})$ .

$- \frac{1}{2} \ln^{2} (\frac{1}{x}) + C$