Calcolo Esempi

$\int \frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Passaggio 1

Dividi la frazione $\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$ in due frazioni.

$\int \frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Passaggio 2.3

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $\tan^{2} (x)$ e $\tan (x)$ .

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Passaggio 2.4.1

Scomponi $\tan (x)$ da $\tan^{2} (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)} d x$

Passaggio 2.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Passaggio 2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x)}{1} d x$

Passaggio 2.4.2.4

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\int \cot (x) + \tan (x) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \cot (x) d x + \int \tan (x) d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \int \tan (x) d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \ln (| \sec (x) |) + C$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica.

$\ln (| \sin (x) |) + \ln (| \sec (x) |) + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \sin (x) | | \sec (x) |) + C$

Passaggio 6.2.2

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| \sin (x) \sec (x) |) + C$