Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{t} - e^{- 3 t} - \cos (t) d t$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{t} d t + \int - e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$\ln (| t |) + C + \int - e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| t |) + C - \int e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Passaggio 4

Sia $u = - 3 t$ . Allora $d u = - 3 d t$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = - 3 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3 t$ rispetto a $t$ è $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\ln (| t |) + C - \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int - \cos (t) d t$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| t |) + C - \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int - \cos (t) d t$

Passaggio 5.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| t |) + C - \int - \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| t |) + C - - \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (| t |) + C + 1 \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ per $1$ .

$\ln (| t |) + C + \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - \cos (t) d t$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int - \cos (t) d t$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) - \int \cos (t) d t$

Passaggio 11

L'integrale di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $\sin (t)$ .

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) - (\sin (t) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$\ln (| t |) + \frac{1}{3} e^{u} - \sin (t) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 t$ .

$\ln (| t |) + \frac{1}{3} e^{- 3 t} - \sin (t) + C$