Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x} + 2 x} d x$

Passaggio 1

Let $u_{1} = \sqrt{x}$ . Then $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Rewrite using $u_{1}$ and $d u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = \sqrt{x}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sqrt{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 1.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.9

Semplifica.

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Passaggio 1.1.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.9.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 4

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C$

Passaggio 4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sqrt{x}$ .

$\ln (| 1 + \sqrt{x} |) + C$