Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \cdot 1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Passaggio 1.2

Frazioni separate.

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 1.3

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ a $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 1.4

Moltiplica $\sqrt[9]{8 + \tan (t)}$ per $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 1.5

$\frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}}$ e $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Passaggio 2

Sia $u = 8 + \tan (t)$ . Allora $d u = \sec^{2} (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 8 + \tan (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $8 + \tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [8 + \tan (t)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 + \tan (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Passaggio 2.1.3

La derivata di $\tan (t)$ rispetto a $t$ è $\sec^{2} (t)$ .

$0 + \sec^{2} (t)$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{u}} d u$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[9]{u}$ come $u^{\frac{1}{9}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{9}}} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $u^{\frac{1}{9}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1} d u$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{9} \cdot - 1} d u$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{9}$ e $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{9}} d u$

Passaggio 3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int u^{- \frac{1}{9}} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{9}}$ rispetto a $u$ è $\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}}$ .

$\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}} + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 + \tan (t)$ .

$\frac{9}{8} {(8 + \tan (t))}^{\frac{8}{9}} + C$