Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 9}} d t$

Passaggio 1

Sia $t = 3 \sec (t_{1})$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d t = 3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ è positivo.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(3 \sec (t_{1}))}^{2} - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(3 \sec (t_{1}))}^{2} - 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sec (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t_{1}) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9 \sec^{2} (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 (\sec^{2} (t_{1})) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t_{1}) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $9$ da $9 \sec^{2} (t_{1}) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \tan^{2} (t_{1})}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $9 \tan^{2} (t_{1})$ come ${(3 \tan (t_{1}))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(3 \tan (t_{1}))}^{2}}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} (3 \tan (t_{1}))} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $3 \tan (t_{1})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3 \tan (t_{1})$ da ${(3 \sec (t_{1}))}^{3} (3 \tan (t_{1}))$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) ({(3 \sec (t_{1}))}^{3})} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $3 \tan (t_{1})$ da $3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) ({(3 \sec (t_{1}))}^{3})} (3 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

Passaggio 2.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) {(3 \sec (t_{1}))}^{3}} (3 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 2.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 2.2.2

$\frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}}$ e $\sec (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $3$ da $3 \sec (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{{(3 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3.2

Applica la regola del prodotto a $3 (\sec (t_{1}))$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{3^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{27 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3.4

Elimina il fattore comune di $\sec (t_{1})$ e $\sec^{3} (t_{1})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{27 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.2.1

Scomponi $\sec (t_{1})$ da $27 \sec^{3} (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (27 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (27 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Passaggio 2.2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{27 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{27}$ è costante rispetto a $t_{1}$ , sposta $\frac{1}{27}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{27} \int \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ come ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

Passaggio 4.3

Riscrivi $\sec (t_{1})$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{27} \int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

Passaggio 4.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ .

$\frac{1}{27} \int {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\cos (t_{1})$ per $1$ .

$\frac{1}{27} \int \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 5

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t_{1})$ come $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{27} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 27} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $27$ .

$\frac{1}{54} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{54} (\int d t_{1} + \int \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Passaggio 10

Sia $u = 2 t_{1}$ . Allora $d u = 2 d t_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u = 2 t_{1}$ . Trova $\frac{d u}{d t_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 t_{1}$ .

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t_{1}$ , la derivata di $2 t_{1}$ rispetto a $t_{1}$ è $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ è $n {t_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 11

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 13

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 14

Semplifica.

$\frac{1}{54} (t_{1} + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t_{1}$ con $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t_{1}$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t_{1})) + C$

Passaggio 15.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t_{1}$ con $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))) + C$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}) + C$

Passaggio 16.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{54} arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2} + C$

Passaggio 16.3

$\frac{1}{54}$ e $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2} + C$

Passaggio 16.4

Moltiplica $\frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}$ .

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Passaggio 16.4.1

Moltiplica $\frac{1}{54}$ per $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{54 \cdot 2} + C$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $54$ per $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{108} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$\frac{1}{54} arcsec (\frac{1}{3} t) + \frac{1}{108} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} t)) + C$