Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{s^{2} {(s - 1)}^{2}} d s$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $C$ .

$\frac{A}{s^{2}} + \frac{B}{s} + \frac{C}{{(s - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

$\frac{A}{s^{2}} + \frac{B}{s} + \frac{C}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{D}{s - 1}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $s^{2} {(s - 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2} {(s - 1)}^{2}} = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $s^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 ({(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di ${(s - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 {(s - 1)}^{2}}{{(s - 1)}^{2}} = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $s^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Dividi $A ({(s - 1)}^{2})$ per $1$ .

$1 = A ({(s - 1)}^{2}) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.2

Riscrivi ${(s - 1)}^{2}$ come $(s - 1) (s - 1)$ .

$1 = A ((s - 1) (s - 1)) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.3

Espandi $(s - 1) (s - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (s (s - 1) - 1 (s - 1)) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (s \cdot s + s \cdot - 1 - 1 (s - 1)) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (s \cdot s + s \cdot - 1 - 1 s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1.1

Moltiplica $s$ per $s$ .

$1 = A (s^{2} + s \cdot - 1 - 1 s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $s$ .

$1 = A (s^{2} - 1 \cdot s - 1 s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.4.1.3

Riscrivi $- 1 s$ come $- s$ .

$1 = A (s^{2} - s - 1 s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.4.1.4

Riscrivi $- 1 s$ come $- s$ .

$1 = A (s^{2} - s - s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 = A (s^{2} - s - s + 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.4.2

Sottrai $s$ da $- s$ .

$1 = A (s^{2} - 2 s + 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A s^{2} + A (- 2 s) + A \cdot 1 + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A \cdot 1 + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.6.2

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.7

Elimina il fattore comune di $s^{2}$ e $s$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.7.1

Scomponi $s$ da $B (s^{2} {(s - 1)}^{2})$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{s (B (s {(s - 1)}^{2}))}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.7.2.1

Eleva $s$ alla potenza di $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{s (B (s {(s - 1)}^{2}))}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.7.2.2

Scomponi $s$ da $s^{1}$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{s (B (s {(s - 1)}^{2}))}{s \cdot 1} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.7.2.3

Elimina il fattore comune.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{s (B (s {(s - 1)}^{2}))}{s \cdot 1} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.7.2.4

Riscrivi l'espressione.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{B (s {(s - 1)}^{2})}{1} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.7.2.5

Dividi $B (s {(s - 1)}^{2})$ per $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s {(s - 1)}^{2}) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.8

Riscrivi ${(s - 1)}^{2}$ come $(s - 1) (s - 1)$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s ((s - 1) (s - 1))) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.9

Espandi $(s - 1) (s - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s (s - 1) - 1 (s - 1))) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s \cdot s + s \cdot - 1 - 1 (s - 1))) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s \cdot s + s \cdot - 1 - 1 s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.10

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.10.1.1

Moltiplica $s$ per $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} + s \cdot - 1 - 1 s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.10.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - 1 \cdot s - 1 s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.10.1.3

Riscrivi $- 1 s$ come $- s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - s - 1 s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.10.1.4

Riscrivi $- 1 s$ come $- s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - s - s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.10.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - s - s + 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.10.2

Sottrai $s$ da $- s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - 2 s + 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.11

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s \cdot s^{2} + s (- 2 s) + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.12.1

Moltiplica $s$ per $s^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.12.1.1

Moltiplica $s$ per $s^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.12.1.1.1

Eleva $s$ alla potenza di $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s \cdot s^{2} + s (- 2 s) + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.12.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{1 + 2} + s (- 2 s) + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.12.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} + s (- 2 s) + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.12.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} - 2 s \cdot s + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.12.3

Moltiplica $s$ per $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} - 2 s \cdot s + s) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.13

Moltiplica $s$ per $s$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.13.1

Sposta $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} - 2 (s \cdot s) + s) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.13.2

Moltiplica $s$ per $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} - 2 s^{2} + s) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.14

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} + B (- 2 s^{2}) + B s + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.15

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.16

Elimina il fattore comune di ${(s - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.16.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + \frac{C (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.16.2

Dividi $(C) (s^{2})$ per $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + (C) (s^{2}) + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.17

Elimina il fattore comune di ${(s - 1)}^{2}$ e $s - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.17.1

Scomponi $s - 1$ da $(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + \frac{(s - 1) (D (s^{2} (s - 1)))}{s - 1}$

Passaggio 1.1.6.17.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.17.2.1

Moltiplica per $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + \frac{(s - 1) (D (s^{2} (s - 1)))}{(s - 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.6.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + \frac{(s - 1) (D (s^{2} (s - 1)))}{(s - 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.6.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + \frac{D (s^{2} (s - 1))}{1}$

Passaggio 1.1.6.17.2.4

Dividi $D (s^{2} (s - 1))$ per $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{2} (s - 1))$

Passaggio 1.1.6.18

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{2} s + s^{2} \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.6.19

Moltiplica $s^{2}$ per $s$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.19.1

Moltiplica $s^{2}$ per $s$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.19.1.1

Eleva $s$ alla potenza di $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{2} s + s^{2} \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.6.19.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{2 + 1} + s^{2} \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.6.19.2

Somma $2$ e $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{3} + s^{2} \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.6.20

Sposta $- 1$ alla sinistra di $s^{2}$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{3} - 1 \cdot s^{2})$

Passaggio 1.1.6.21

Riscrivi $- 1 s^{2}$ come $- s^{2}$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{3} - s^{2})$

Passaggio 1.1.6.22

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D s^{3} + D (- s^{2})$

Passaggio 1.1.6.23

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta $A$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Passaggio 1.1.7.2

Riordina $B$ e $s^{3}$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $B$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + A + B s^{3} - 2 s^{2} B + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Passaggio 1.1.7.4

Riordina $B$ e $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + A + B s^{3} - 2 s^{2} B + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Passaggio 1.1.7.5

Sposta $A$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + B s^{3} - 2 s^{2} B + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2} + A$

Passaggio 1.1.7.6

Sposta $B s$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + B s^{3} - 2 s^{2} B + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2} + B s + A$

Passaggio 1.1.7.7

Sposta $- 2 s A$ .

$1 = A s^{2} + B s^{3} - 2 s^{2} B + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2} - 2 s A + B s + A$

Passaggio 1.1.7.8

Sposta $C s^{2}$ .

$1 = A s^{2} + B s^{3} - 2 s^{2} B + D s^{3} + C s^{2} - D s^{2} - 2 s A + B s + A$

Passaggio 1.1.7.9

Sposta $- 2 s^{2} B$ .

$1 = A s^{2} + B s^{3} + D s^{3} - 2 s^{2} B + C s^{2} - D s^{2} - 2 s A + B s + A$

Passaggio 1.1.7.10

Sposta $A s^{2}$ .

$1 = B s^{3} + D s^{3} + A s^{2} - 2 s^{2} B + C s^{2} - D s^{2} - 2 s A + B s + A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $s^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B + D$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $s^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A - 2 B + C - 1 D$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $s$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 2 A + B$

Passaggio 1.2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $s$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 1.2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = B + D$

$0 = A - 2 B + C - 1 D$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

$0 = B + D$

$0 = A - 2 B + C - 1 D$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = A - 2 B + C - 1 D$

$0 = - 2 A + B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A - 2 B + C - 1 D$ con $1$ .

$0 = (1) - 2 B + C - 1 D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 A + B$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Riscrivi $- 1 D$ come $- D$ .

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 A + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 A + B$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = - 2 A + B$ con $1$ .

$0 = - 2 \cdot 1 + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 = - 2 + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - 2 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 + B = 0$ .

$- 2 + B = 0$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 2$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$B = 2$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = 1 - 2 B + C - D$ con $2$ .

$0 = 1 - 2 \cdot 2 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $1 - 2 \cdot 2 + C - D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$0 = 1 - 4 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

Passaggio 1.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = B + D$ con $2$ .

$0 = (2) + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

Passaggio 1.3.4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.4.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 2 + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = 2 + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = 2 + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $D$ in $0 = 2 + D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $2 + D = 0$ .

$2 + D = 0$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

Passaggio 1.3.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$D = - 2$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$D = - 2$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

Passaggio 1.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ con $- 2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ in $0 = - 3 + C - D$ con $- 2$ .

$0 = - 3 + C - (- 2)$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Passaggio 1.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Semplifica $- 3 + C - (- 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$0 = - 3 + C + 2$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Passaggio 1.3.6.2.1.2

Somma $- 3$ e $2$ .

$0 = C - 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = C - 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = C - 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = C - 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Passaggio 1.3.7

Risolvi per $C$ in $0 = C - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Riscrivi l'equazione come $C - 1 = 0$ .

$C - 1 = 0$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Passaggio 1.3.7.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

$C = 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Passaggio 1.3.8

Risolvi il sistema di equazioni.

$C = 1 D = - 2 B = 2 A = 1$

Passaggio 1.3.9

Elenca tutte le soluzioni.

$C = 1, D = - 2, B = 2, A = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{s^{2}} + \frac{B}{s} + \frac{C}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{D}{s - 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{1}{s^{2}} + \frac{2}{s} + \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{- 2}{s - 1}$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{s^{2}} + \frac{2}{s} + \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{s^{2}} d s + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta $s^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(s^{2})}^{- 1} d s + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(s^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int s^{2 \cdot - 1} d s + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int s^{- 2} d s + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $s^{- 2}$ rispetto a $s$ è $- s^{- 1}$ .

$- s^{- 1} + C + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $s$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- s^{- 1} + C + 2 \int \frac{1}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{s}$ rispetto a $s$ è $\ln (| s |)$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 7

Sia $u_{1} = s - 1$ . Allora $d u_{1} = d s$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{1} = s - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d s}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $s - 1$ .

$\frac{d}{d s} [s - 1]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $s - 1$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d s} [- 1]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $s$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 8

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 8.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $s$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - \int \frac{2}{s - 1} d s$

Passaggio 11

Poiché $2$ è costante rispetto a $s$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - (2 \int \frac{1}{s - 1} d s)$

Passaggio 12

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{s - 1} d s$

Passaggio 13

Sia $u_{2} = s - 1$ . Allora $d u_{2} = d s$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sia $u_{2} = s - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d s}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Differenzia $s - 1$ .

$\frac{d}{d s} [s - 1]$

Passaggio 13.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $s - 1$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$

Passaggio 13.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d s} [- 1]$

Passaggio 13.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $s$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 13.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 13.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

$- \frac{1}{s} + 2 \ln (| s |) - \frac{1}{u_{1}} - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $s - 1$ .

$- \frac{1}{s} + 2 \ln (| s |) - \frac{1}{s - 1} - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $s - 1$ .

$- \frac{1}{s} + 2 \ln (| s |) - \frac{1}{s - 1} - 2 \ln (| s - 1 |) + C$