Calcolo Esempi

$\int \frac{t^{3} + \sqrt[3]{t}}{t^{2}} d t$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{t}$ come $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{t^{3} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $t^{\frac{1}{3}}$ da $t^{3} + t^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Scomponi $t^{\frac{1}{3}}$ da $t^{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Passaggio 1.1.2.3

Scomponi $t^{\frac{1}{3}}$ da $t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} (t^{\frac{8}{3}} + 1)}{t^{2}} d t$

Passaggio 1.2

Sposta $t^{\frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2} t^{- \frac{1}{3}}} d t$

Passaggio 1.3

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 - \frac{1}{3}}} d t$

Passaggio 1.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Passaggio 1.3.3

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Passaggio 1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}} d t$

Passaggio 1.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{6 - 1}{3}}} d t$

Passaggio 1.3.5.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{5}{3}}} d t$

Passaggio 2

Sposta $t^{\frac{5}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) {(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d t$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d t$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Passaggio 3.2.1

$\frac{5}{3}$ e $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d t$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{- 5}{3}} d t$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{- \frac{5}{3}} d t$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int t^{\frac{8}{3}} t^{- \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Passaggio 4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int t^{\frac{8}{3} - \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Passaggio 4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int t^{\frac{8 - 5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Passaggio 4.4

Sottrai $5$ da $8$ .

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.5.1

Elimina il fattore comune.

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Passaggio 4.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\int t^{1} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Passaggio 4.6

Semplifica.

$\int t + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Passaggio 4.7

Moltiplica $t^{- \frac{5}{3}}$ per $1$ .

$\int t + t^{- \frac{5}{3}} d t$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int t d t + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{- \frac{5}{3}}$ rispetto a $t$ è $- \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$

Passaggio 8

Semplifica.

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$