Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2} + 8 x - 3}{x^{3} + 3 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} + 3 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 8 x - 3}{x^{2} x + 3 x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 8 x - 3}{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{2} + 8 x - 3}{x^{2} (x + 3)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 3}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x^{2} (x + 3)$ .

$\frac{(x^{2} + 8 x - 3) (x^{2} (x + 3))}{x^{2} (x + 3)} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 8 x - 3) (x^{2} (x + 3))}{x^{2} (x + 3)} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2} + 8 x - 3) (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 8 x - 3) (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi $x^{2} + 8 x - 3$ per $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 8 x - 3 = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Dividi $A (x + 3)$ per $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A (x + 3) + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + A \cdot 3 + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Scomponi $x$ da $B (x^{2} (x + 3))$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{B (x (x + 3))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.4.2.5

Dividi $B (x (x + 3))$ per $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B (x (x + 3)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B (x \cdot x + x \cdot 3) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B (x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.7

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B (x^{2} + 3 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.8

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + B (3 x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.10

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.10.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + \frac{C (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.10.2

Dividi $(C) (x^{2})$ per $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + (C) (x^{2})$

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + C x^{2}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta $B$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 x B + C x^{2}$

Passaggio 1.1.7.2

Sposta $3 A$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + B x^{2} + 3 x B + C x^{2} + 3 A$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $3 x B$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + B x^{2} + C x^{2} + 3 x B + 3 A$

Passaggio 1.1.7.4

Sposta $A x$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = B x^{2} + C x^{2} + A x + 3 x B + 3 A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = B + C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$8 = A + 3 B$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 3 = 3 A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$- 3 = 3 A$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$- 3 = 3 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $- 3 = 3 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $3 A = - 3$ .

$3 A = - 3$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = - 3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Passaggio 1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Passaggio 1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Passaggio 1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.3.1

Dividi $- 3$ per $3$ .

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $8 = A + 3 B$ con $- 1$ .

$8 = (- 1) + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$8 = - 1 + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = - 1 + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = - 1 + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $8 = - 1 + 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + 3 B = 8$ .

$- 1 + 3 B = 8$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 B = 8 + 1$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $8$ e $1$ .

$3 B = 9$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$3 B = 9$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 B = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 B = 9$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 B}{3} = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Dividi $9$ per $3$ .

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $1 = B + C$ con $3$ .

$1 = (3) + C$

$B = 3$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $C$ in $1 = 3 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $3 + C = 1$ .

$3 + C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1 - 3$

$B = 3$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.2.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$C = - 2$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = - 2$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = - 2$

$B = 3$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$C = - 2 B = 3 A = - 1$

Passaggio 1.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$C = - 2, B = 3, A = - 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x} + \frac{- 2}{x + 3}$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x} - \frac{2}{x + 3} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \int x^{- 2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- (- x^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{2}{x + 3} d x$

Passaggio 9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - (2 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Passaggio 10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 11

Sia $u = x + 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u = x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 11.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 11.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{1}{x} + 3 \ln (| x |) - 2 \ln (| u |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$\frac{1}{x} + 3 \ln (| x |) - 2 \ln (| x + 3 |) + C$