Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x - 28} d x$

Passaggio 1

Dividi $x^{2} - 3 x$ per $x^{2} - 3 x - 28$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$28$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	-	$3 x$	-	$28$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$0$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$1$
$x^{2}$	-	$3 x$	-	$28$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$	-	$28$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - 3 x - 28$

						$1$
$x^{2}$	-	$3 x$	-	$28$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$28$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	-	$3 x$	-	$28$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$28$
									+	$28$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 + \frac{28}{x^{2} - 3 x - 28} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int \frac{28}{x^{2} - 3 x - 28} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$x + C + \int \frac{28}{x^{2} - 3 x - 28} d x$

Passaggio 4

Poiché $28$ è costante rispetto a $x$ , sposta $28$ fuori dall'integrale.

$x + C + 28 \int \frac{1}{x^{2} - 3 x - 28} d x$

Passaggio 5

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $x^{2} - 3 x - 28$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 28$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 7, 4$

Passaggio 5.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{1}{(x - 7) (x + 4)}$

Passaggio 5.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 7}$

Passaggio 5.1.3

$\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x + 4}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 7) (x + 4)$ .

$\frac{1 (x - 7) (x + 4)}{(x - 7) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 7) (x + 4)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 5.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x - 7) (x + 4)}{(x - 7) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 7) (x + 4)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 5.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 7) (x + 4)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 5.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 7) (x + 4)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 5.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (x - 7) (x + 4)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 5.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x - 7) (x + 4)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 5.1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 4)$ per $1$ .

$1 = (A) (x + 4) + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 5.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 5.1.7.3

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 5.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x + 4 A + \frac{(B) (x - 7) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 5.1.7.4.2

Dividi $(B) (x - 7)$ per $1$ .

$1 = A x + 4 A + (B) (x - 7)$

Passaggio 5.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + 4 A + B x + B \cdot - 7$

Passaggio 5.1.7.6

Sposta $- 7$ alla sinistra di $B$ .

$1 = A x + 4 A + B x - 7 B$

Passaggio 5.1.8

Sposta $4 A$ .

$1 = A x + B x + 4 A - 7 B$

Passaggio 5.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 5.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 4 A - 7 B$

Passaggio 5.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = 4 A - 7 B$

$0 = A + B$

$1 = 4 A - 7 B$

Passaggio 5.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = 4 A - 7 B$

Passaggio 5.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$1 = 4 A - 7 B$

$A = - B$

$1 = 4 A - 7 B$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = 4 A - 7 B$ con $- B$ .

$1 = 4 (- B) - 7 B$

$A = - B$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Semplifica $4 (- B) - 7 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$1 = - 4 B - 7 B$

$A = - B$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Sottrai $7 B$ da $- 4 B$ .

$1 = - 11 B$

$A = - B$

$1 = - 11 B$

$A = - B$

$1 = - 11 B$

$A = - B$

$1 = - 11 B$

$A = - B$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = - 11 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 11 B = 1$ .

$- 11 B = 1$

$A = - B$

Passaggio 5.3.3.2

Dividi per $- 11$ ciascun termine in $- 11 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Dividi per $- 11$ ciascun termine in $- 11 B = 1$ .

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{1}{- 11}$

$A = - B$

Passaggio 5.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{1}{- 11}$

$A = - B$

Passaggio 5.3.3.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{- 11}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 11}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 11}$

$A = - B$

Passaggio 5.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{1}{11}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{11}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{11}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{11}$

$A = - B$

Passaggio 5.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- \frac{1}{11}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $- \frac{1}{11}$ .

$A = - (- \frac{1}{11})$

$B = - \frac{1}{11}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Moltiplica $- (- \frac{1}{11})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1 (\frac{1}{11})$

$B = - \frac{1}{11}$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{11}$ per $1$ .

$A = \frac{1}{11}$

$B = - \frac{1}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$B = - \frac{1}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$B = - \frac{1}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$B = - \frac{1}{11}$

Passaggio 5.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{1}{11}, B = - \frac{1}{11}$

Passaggio 5.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x + 4}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{11}}{x - 7} + \frac{- \frac{1}{11}}{x + 4}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{11} \cdot \frac{1}{x - 7} + \frac{- \frac{1}{11}}{x + 4}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\frac{1}{11}$ per $\frac{1}{x - 7}$ .

$\frac{1}{11 (x - 7)} + \frac{- \frac{1}{11}}{x + 4}$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{11 (x - 7)} - \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{x + 4}$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica $\frac{1}{x + 4}$ per $\frac{1}{11}$ .

$\frac{1}{11 (x - 7)} - \frac{1}{(x + 4) \cdot 11}$

Passaggio 5.5.5

Sposta $11$ alla sinistra di $x + 4$ .

$x + C + 28 \int \frac{1}{11 (x - 7)} - \frac{1}{11 (x + 4)} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x + C + 28 (\int \frac{1}{11 (x - 7)} d x + \int - \frac{1}{11 (x + 4)} d x)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{11}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{11}$ fuori dall'integrale.

$x + C + 28 (\frac{1}{11} \int \frac{1}{x - 7} d x + \int - \frac{1}{11 (x + 4)} d x)$

Passaggio 8

Sia $u_{1} = x - 7$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{1} = x - 7$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$x + C + 28 (\frac{1}{11} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{11 (x + 4)} d x)$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$x + C + 28 (\frac{1}{11} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{11 (x + 4)} d x)$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x + C + 28 (\frac{1}{11} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{11 (x + 4)} d x)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{11}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{11}$ fuori dall'integrale.

$x + C + 28 (\frac{1}{11} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{11} \int \frac{1}{x + 4} d x))$

Passaggio 12

Sia $u_{2} = x + 4$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sia $u_{2} = x + 4$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Differenzia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 12.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 12.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 12.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 12.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$x + C + 28 (\frac{1}{11} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{11} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 13

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$x + C + 28 (\frac{1}{11} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{11} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Passaggio 14

Semplifica.

$x + 28 (\frac{1}{11} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{11} \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 7$ .

$x + 28 (\frac{1}{11} \ln (| x - 7 |) - \frac{1}{11} \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 4$ .

$x + 28 (\frac{1}{11} \ln (| x - 7 |) - \frac{1}{11} \ln (| x + 4 |)) + C$