Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}} d x$

Passaggio 2

Sia $x = 2 \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2^{2} \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $4$ da $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t)) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $4$ da $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t) - 1))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.6

Applica la regola del prodotto a $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{3} {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.7

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 \tan^{6} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.9

Riscrivi $64 \tan^{6} (t)$ come ${(8 \tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(8 \tan^{3} (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{8 \tan^{3} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 \tan (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $2 \tan (t)$ da $8 \tan^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $2 \tan (t)$ da $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Passaggio 3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{4 \tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Passaggio 3.2.2

$\frac{1}{4 \tan^{2} (t)}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi $\sec (x)$ come $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 5.2

Applica l'identità reciproca.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 5.3.2

Combina.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $\csc (t)$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 5.3.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 5.3.5

$\cot (t)$ e $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 5.3.6

Riduci l'espressione $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 5.3.6.2

Scomponi $\cot (t)$ da ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Passaggio 5.3.6.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Passaggio 5.3.6.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Passaggio 6

Poiché la derivata di $- \csc (t)$ è $\csc (t) \cot (t)$ , l'integrale di $\csc (t) \cot (t)$ è $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{4}$ e $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (arcsec (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $arcsec (\frac{x}{2})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Perciò, $\csc (arcsec (\frac{x}{2}))$ è $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.3

Combina.

$- \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{x}{2}$ e $b = 1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.3.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.4

Moltiplica $\frac{x + 2}{2}$ per $\frac{x - 2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.6

Riscrivi $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.6.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.6.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.6.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.7

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{4} + C$

Passaggio 9.1.5.8

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.6

$2$ e $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1

Riduci l'espressione $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.7.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.7.2

Dividi $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ per $1$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ per $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.9

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ per $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.9.2

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.9.3

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.9.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.9.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.9.6

Riscrivi ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ come $(x + 2) (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ come ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.9.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.9.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.9.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.9.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}}{4} + C$

Passaggio 9.1.9.6.5

Semplifica.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{4} + C$

Passaggio 9.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Passaggio 9.3

Moltiplica $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2) \cdot 4} + C$

Passaggio 9.4

Sposta $4$ alla sinistra di $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4 (x + 2) (x - 2)} + C$