Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3} - 6 x - 20}{x + 5} d x$

Passaggio 1

Dividi $x^{3} - 6 x - 20$ per $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$20$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Passaggio 1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x^{2} - 25 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$19 x$

Passaggio 1.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$19 x$	-	$20$

Passaggio 1.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $19 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$19$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$19 x$	-	$20$

Passaggio 1.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$19$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$19 x$	-	$20$
							+	$19 x$	+	$95$

Passaggio 1.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $19 x + 95$

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$19$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$19 x$	-	$20$
							-	$19 x$	-	$95$

Passaggio 1.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$19$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$19 x$	-	$20$
							-	$19 x$	-	$95$
									-	$115$

Passaggio 1.16

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int x^{2} - 5 x + 19 - \frac{115}{x + 5} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{2} d x + \int - 5 x d x + \int 19 d x + \int - \frac{115}{x + 5} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 5 x d x + \int 19 d x + \int - \frac{115}{x + 5} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 \int x d x + \int 19 d x + \int - \frac{115}{x + 5} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 19 d x + \int - \frac{115}{x + 5} d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 19 x + C + \int - \frac{115}{x + 5} d x$

Passaggio 7

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 19 x + C + \int - \frac{115}{x + 5} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 19 x + C - \int \frac{115}{x + 5} d x$

Passaggio 9

Poiché $115$ è costante rispetto a $x$ , sposta $115$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 19 x + C - (115 \int \frac{1}{x + 5} d x)$

Passaggio 10

Moltiplica $115$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 19 x + C - 115 \int \frac{1}{x + 5} d x$

Passaggio 11

Sia $u = x + 5$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u = x + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 11.1.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 11.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 19 x + C - 115 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 19 x + C - 115 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 19 x - 115 \ln (| u |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 5$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 19 x - 115 \ln (| x + 5 |) + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 19 x - 115 \ln (| x + 5 |) + C$