Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3}}{100 + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Riordina $100$ e $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 100} d x$

Passaggio 2

Dividi $x^{3}$ per $x^{2} + 100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$100$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$100$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$100$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$100 x$

Passaggio 2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0 + 100 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$100$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$100 x$

Passaggio 2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$100$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$100 x$

Passaggio 2.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$100$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$100 x$

$0$

Passaggio 2.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int x + \frac{- 100 x}{x^{2} + 100} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x d x + \int \frac{- 100 x}{x^{2} + 100} d x$

Passaggio 4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int x d x + \int - \frac{100 x}{x^{2} + 100} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{100 x}{x^{2} + 100} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{100 x}{x^{2} + 100} d x$

Passaggio 7

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , sposta $100$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (100 \int \frac{x}{x^{2} + 100} d x)$

Passaggio 8

Moltiplica $100$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 100 \int \frac{x}{x^{2} + 100} d x$

Passaggio 9

Sia $u = x^{2} + 100$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u = x^{2} + 100$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $x^{2} + 100$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 100]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 100$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [100]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 100 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 100 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 10.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 100 \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 100 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{2}$ e $- 100$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{- 100}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune di $- 100$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scomponi $2$ da $- 100$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{2 \cdot - 50}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{2 \cdot - 50}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{- 50}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12.2.2.4

Dividi $- 50$ per $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 50 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 13

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 50 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} - 50 \ln (| u |) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 100$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 50 \ln (| x^{2} + 100 |) + C$