Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 3 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 3 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $9$ da $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $9 \cos^{2} (t)$ come ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $3 \cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\int {(3 \sin (t))}^{3} d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sin (t)$ .

$\int {(3 (\sin (t)))}^{3} d t$

Passaggio 2.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 (\sin (t))$ .

$\int 3^{3} \sin^{3} (t) d t$

Passaggio 2.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\int 27 \sin^{3} (t) d t$

Passaggio 3

Poiché $27$ è costante rispetto a $t$ , sposta $27$ fuori dall'integrale.

$27 \int \sin^{3} (t) d t$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\sin^{2} (t)$ .

$27 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Passaggio 5

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (t)$ come $1 - \cos^{2} (t)$ .

$27 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Passaggio 6

Sia $u = \cos (t)$ . Allora $d u = - \sin (t) d t$ , quindi $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = \cos (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$27 \int - 1 + u^{2} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$27 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$27 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$27 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$27 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$27 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (t)$ .

$27 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$27 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{3})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (\frac{x}{3})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Perciò, $\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$ è $\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$27 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$27 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{x}{3}$ .

$27 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$27 (- \sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.8

Moltiplica $\frac{3 + x}{3}$ per $\frac{3 - x}{3}$ .

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.9

Moltiplica $3$ per $3$ .

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.10

Riscrivi $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Passaggio 12.1.10.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(3 + x) (3 - x)$ .

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.10.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $9$ .

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.10.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$27 (- \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.11

Estrai i termini dal radicale.

$27 (- (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.1.12

$\frac{1}{3}$ e $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 12.2

$\frac{1}{3}$ e $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3}) + C$

Passaggio 12.3

Applica la proprietà distributiva.

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Passaggio 12.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 12.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ nel numeratore.

$27 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Passaggio 12.4.2

Scomponi $3$ da $27$ .

$3 (9) \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Passaggio 12.4.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 9 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Passaggio 12.4.4

Riscrivi l'espressione.

$9 (- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Passaggio 12.5

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Passaggio 12.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 12.6.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 (9) \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Passaggio 12.6.2

Elimina il fattore comune.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 \cdot 9 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

Passaggio 12.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$