Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3} + \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{3} + x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{x^{3} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{3} + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Passaggio 2.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3

Moltiplica $x^{\frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.2

Per scrivere $\frac{2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.3

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

Passaggio 2.3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}}} d x$

Passaggio 2.3.4.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}}} d x$

Passaggio 2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}}} d x$

Passaggio 2.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{4 - 3}{6}}} d x$

Passaggio 2.3.6.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{6}}} d x$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x^{\frac{1}{6}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{\frac{1}{6} \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2.2

$\frac{1}{6}$ e $- 1$ .

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{6}} d x$

Passaggio 3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{\frac{5}{2} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4.3

Per scrivere $\frac{5}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int x^{\frac{5 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{5 \cdot 3 - 1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\int x^{\frac{15 - 1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $1$ da $15$ .

$\int x^{\frac{14}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4.7

Elimina il fattore comune di $14$ e $6$ .

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Passaggio 4.7.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$\int x^{\frac{2 (7)}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.7.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int x^{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int x^{\frac{7}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 4.8

Moltiplica $x^{- \frac{1}{6}}$ per $1$ .

$\int x^{\frac{7}{3}} + x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{\frac{7}{3}} d x + \int x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{7}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}}$ .

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C + \int x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{6}}$ rispetto a $x$ è $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} + C$

Passaggio 8

Semplifica.

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} + C$