Calcolo Esempi

$\int \frac{4 + \sqrt{t}}{t^{3}} d t$

Passaggio 1

Sposta $t^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (4 + \sqrt{t}) {(t^{3})}^{- 1} d t$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + \sqrt{t}) t^{3 \cdot - 1} d t$

Passaggio 2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int (4 + \sqrt{t}) t^{- 3} d t$

Passaggio 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (4 + t^{\frac{1}{2}}) t^{- 3} d t$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2}} t^{- 3} d t$

Passaggio 4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2} - 3} d t$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}} d t$

Passaggio 4.4

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}} d t$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1 - 3 \cdot 2}{2}} d t$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1 - 6}{2}} d t$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $6$ da $1$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{- 5}{2}} d t$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int 4 t^{- 3} + t^{- \frac{5}{2}} d t$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 4 t^{- 3} d t + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Passaggio 7

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int t^{- 3} d t + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{- 3}$ rispetto a $t$ è $- \frac{1}{2} t^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} t^{- 2} + C) + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

$t^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{t^{- 2}}{2} + C) + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Passaggio 9.2

Sposta $t^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{- \frac{5}{2}}$ rispetto a $t$ è $- \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}} + C$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

$\frac{- 2}{t^{2}} - \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}} + C$

Passaggio 11.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{t^{2}} - \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}} + C$