Calcolo Esempi

$\int \frac{4 x}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{x}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} d x$

Passaggio 2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

Passaggio 2.1.3

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$\frac{x {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.5

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.6.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{A {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 1)$ per $1$ .

$x = (A) (x + 1) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$x = A x + A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.4

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ e $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.4.1

Scomponi $x - 1$ da $(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$x = A x + A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) (x + 1))}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$x = A x + A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) (x + 1))}{(x - 1) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = A x + A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) (x + 1))}{(x - 1) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = A x + A + \frac{B (x - 1) (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.4.2.4

Dividi $B (x - 1) (x + 1)$ per $1$ .

$x = A x + A + B (x - 1) (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A + (B x + B \cdot - 1) (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$x = A x + A + (B x - 1 \cdot B) (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.7

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$x = A x + A + (B x - B) (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.8

Espandi $(B x - B) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A + B x (x + 1) - B (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 - B (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 - B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.9.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.9.1.1.1

Sposta $x$ .

$x = A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 - B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.9.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x = A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 - B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.9.1.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$x = A x + A + B x^{2} + B x - B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x = A x + A + B x^{2} + B x - B x - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.9.2

Sottrai $B x$ da $B x$ .

$x = A x + A + B x^{2} + 0 - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.9.3

Somma $B x^{2}$ e $0$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.10

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.10.1

Elimina il fattore comune.

$x = A x + A + B x^{2} - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.7.10.2

Dividi $(C) {(x - 1)}^{2}$ per $1$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + (C) {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 2.1.7.11

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C ((x - 1) (x - 1))$

Passaggio 2.1.7.12

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Passaggio 2.1.7.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Passaggio 2.1.7.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.1.7.13

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.13.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.1.7.13.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.1.7.13.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.1.7.13.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.1.7.13.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - x - x + 1)$

Passaggio 2.1.7.13.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 2.1.7.14

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C x^{2} + C (- 2 x) + C \cdot 1$

Passaggio 2.1.7.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.15.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C x^{2} - 2 C x + C \cdot 1$

Passaggio 2.1.7.15.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C x^{2} - 2 C x + C$

Passaggio 2.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Sposta $- B$ .

$x = A x + A + B x^{2} + C x^{2} - 2 C x - B + C$

Passaggio 2.1.8.2

Sposta $A$ .

$x = A x + B x^{2} + C x^{2} - 2 C x + A - B + C$

Passaggio 2.1.8.3

Sposta $A x$ .

$x = B x^{2} + C x^{2} + A x - 2 C x + A - B + C$

Passaggio 2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B + C$

Passaggio 2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A - 2 C$

Passaggio 2.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A - 1 B + C$

Passaggio 2.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = B + C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = B + C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

Passaggio 2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Risolvi per $B$ in $0 = B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $B + C = 0$ .

$B + C = 0$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

Passaggio 2.3.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = A - 1 B + C$ con $- C$ .

$0 = A - 1 (- C) + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica $A - 1 (- C) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1 (- C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 = A + 1 C + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Passaggio 2.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$0 = A + C + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A + C + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Somma $C$ e $C$ .

$0 = A + 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A + 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A + 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A + 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Passaggio 2.3.3

Risolvi per $A$ in $0 = A + 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A + 2 C = 0$ .

$A + 2 C = 0$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Passaggio 2.3.3.2

Sottrai $2 C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Passaggio 2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 2 C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A - 2 C$ con $- 2 C$ .

$1 = (- 2 C) - 2 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Sottrai $2 C$ da $- 2 C$ .

$1 = - 4 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$1 = - 4 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$1 = - 4 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Passaggio 2.3.5

Risolvi per $C$ in $1 = - 4 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 C = 1$ .

$- 4 C = 1$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Passaggio 2.3.5.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 C = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 C = 1$ .

$\frac{- 4 C}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Passaggio 2.3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 C}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Passaggio 2.3.5.2.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Passaggio 2.3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = - \frac{1}{4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = - \frac{1}{4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = - \frac{1}{4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = - \frac{1}{4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- \frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $A = - 2 C$ con $- \frac{1}{4}$ .

$A = - 2 (- \frac{1}{4})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

Semplifica $- 2 (- \frac{1}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$A = - 2 (\frac{- 1}{4})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Passaggio 2.3.6.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$A = 2 (- 1) (\frac{- 1}{4})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Passaggio 2.3.6.2.1.1.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$A = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Passaggio 2.3.6.2.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$A = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Passaggio 2.3.6.2.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$A = - 1 (\frac{- 1}{2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

$A = - 1 (\frac{- 1}{2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Passaggio 2.3.6.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - 1 (- \frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Passaggio 2.3.6.2.1.3

Moltiplica $- 1 (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1 (\frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Passaggio 2.3.6.2.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Passaggio 2.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = - C$ con $- \frac{1}{4}$ .

$B = - (- \frac{1}{4})$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.6.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.4.1

Moltiplica $- (- \frac{1}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$B = 1 (\frac{1}{4})$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.6.4.1.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{2}, C = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Passaggio 2.5.2

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4 (x - 1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Passaggio 2.5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 2.5.7

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 4}$

Passaggio 2.5.8

Sposta $4$ alla sinistra di $x + 1$ .

$4 \int \frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int \frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = x - 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 (\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - \int \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 1} d x))$

Passaggio 13

Sia $u_{3} = x + 1$ . Allora $d u_{3} = d x$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Passaggio 13.1

Sia $u_{3} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Passaggio 13.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 13.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 13.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 13.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 13.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 13.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 14

L'integrale di $\frac{1}{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{3} |) + C))$

Passaggio 15

Semplifica.

$4 (- \frac{1}{2 u_{1}} + \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C$

Passaggio 16.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $x + 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{4} - \frac{\ln (| x + 1 |)}{4}) + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$4 (- \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{1}{4} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{4} \ln (| x + 1 |)) + C$