Calcolo Esempi

$\int 4^{- 4 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = - 4 x$ . Allora $d u_{1} = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = - 4 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int - 4^{u_{1} - 1} d u_{1}$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int 4^{u_{1} - 1} d u_{1}$

Passaggio 3

Sia $u_{2} = u_{1} - 1$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u_{2} = u_{1} - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u_{1} - 1$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \int 4^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

L'integrale di $4^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{4^{u_{2}}}{\ln (4)}$ .

$- (\frac{4^{u_{2}}}{\ln (4)} + C)$

Passaggio 5

Riscrivi $- (\frac{4^{u_{2}}}{\ln (4)} + C)$ come $- \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u_{2}} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u_{2}} + C$

Passaggio 6

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $u_{1} - 1$ .

$- \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u_{1} - 1} + C$

Passaggio 6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 4 x$ .

$- \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{- 4 x - 1} + C$