Calcolo Esempi

$\int \frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{4 x^{3} - x} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x$ da $4 x^{3} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x (4 x^{2}) - x}$

Passaggio 1.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $x (4 x^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x (4 x^{2} - 1)}$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x ({(2 x)}^{2} - 1)}$

Passaggio 1.1.1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x ({(2 x)}^{2} - 1^{2})}$

Passaggio 1.1.1.4

Scomponi.

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Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x ((2 x + 1) (2 x - 1))}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1} + \frac{C}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{(6 x^{2} - 2 x - 1) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x (2 x + 1) (2 x - 1)} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(6 x^{2} - 2 x - 1) ((2 x + 1) (2 x - 1))}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(6 x^{2} - 2 x - 1) (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.7

Elimina il fattore comune di $2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(6 x^{2} - 2 x - 1) (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.7.2

Dividi $6 x^{2} - 2 x - 1$ per $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.8.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.1.2

Dividi $A ((2 x + 1) (2 x - 1))$ per $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A ((2 x + 1) (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.2

Espandi $(2 x + 1) (2 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.3

Combina i termini opposti in $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Passaggio 1.1.8.3.1

Riordina i fattori nei termini di $2 x \cdot - 1$ e $1 (2 x)$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) - 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.3.2

Somma $- 1 \cdot 2 x$ e $1 \cdot 2 x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.3.3

Somma $2 x (2 x)$ e $0$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.8.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 \cdot (2 x \cdot x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.8.4.2.1

Sposta $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 \cdot (2 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.4.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (4 x^{2} + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (4 x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.5

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (4 x^{2}) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.8

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.9

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.9.1

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + \frac{B (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.9.2

Dividi $(B) (x (2 x - 1))$ per $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + (B) (x (2 x - 1)) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.10

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (x (2 x) + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.11

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.12

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x \cdot x - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.13.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.13.1.1

Sposta $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.13.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.13.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2} - x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.14

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2}) + B (- x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.15

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.16

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.17

Elimina il fattore comune di $2 x - 1$ .

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Passaggio 1.1.8.17.1

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + \frac{C (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.8.17.2

Dividi $(C) (x (2 x + 1))$ per $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + (C) (x (2 x + 1))$

Passaggio 1.1.8.18

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (x (2 x) + x \cdot 1)$

Passaggio 1.1.8.19

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x \cdot x + x \cdot 1)$

Passaggio 1.1.8.20

Moltiplica $x$ per $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x \cdot x + x)$

Passaggio 1.1.8.21

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.21.1

Sposta $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 (x \cdot x) + x)$

Passaggio 1.1.8.21.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x^{2} + x)$

Passaggio 1.1.8.22

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x^{2}) + C x$

Passaggio 1.1.8.23

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + 2 C x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.9

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Sposta $A$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A - A + 2 B x^{2} - B x + 2 C x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.9.2

Sposta $B$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A - A + 2 x^{2} B - B x + 2 C x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.9.3

Sposta $B$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A - A + 2 x^{2} B - x B + 2 C x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.9.4

Sposta $- A$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B - x B + 2 C x^{2} + C x - A$

Passaggio 1.1.9.5

Sposta $- x B$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B + 2 C x^{2} - x B + C x - A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = - 1 A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$- 1 = - 1 A$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$- 1 = - 1 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $- 1 = - 1 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 A = - 1$ .

$- 1 A = - 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = - 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.3.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.1.2.2.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 1}{- 1}$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = \frac{- 1}{- 1}$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.1.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $6 = 4 A + 2 B + 2 C$ con $1$ .

$6 = 4 (1) + 2 B + 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$6 = 4 + 2 B + 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$6 = 4 + 2 B + 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$6 = 4 + 2 B + 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $6 = 4 + 2 B + 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $4 + 2 B + 2 C = 6$ .

$4 + 2 B + 2 C = 6$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 B + 2 C = 6 - 4$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $2 C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 B = 6 - 4 - 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3.2.3

Sottrai $4$ da $6$ .

$2 B = 2 - 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$2 B = 2 - 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 2 - 2 C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 2 - 2 C$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1.1

Dividi $2$ per $2$ .

$B = 1 + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 C$ .

$B = 1 + \frac{2 (- C)}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$B = 1 + \frac{2 (- C)}{2 (1)}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3.3.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$B = 1 + \frac{2 (- C)}{2 \cdot 1}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3.3.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$B = 1 + \frac{- C}{1}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3.3.3.1.2.2.4

Dividi $- C$ per $1$ .

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1 - C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $- 2 = - 1 B + C$ con $1 - C$ .

$- 2 = - 1 (1 - C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $- 1 (1 - C) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 = - 1 \cdot 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 = - 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.3

Moltiplica $- 1 (- C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 2 = - 1 + 1 C + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.3.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$- 2 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Somma $C$ e $C$ .

$- 2 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $C$ in $- 2 = - 1 + 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + 2 C = - 2$ .

$- 1 + 2 C = - 2$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 C = - 2 + 1$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.5.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$2 C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$2 C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = - 1$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.5.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Passaggio 1.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- \frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = 1 - C$ con $- \frac{1}{2}$ .

$B = 1 - (- \frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Passaggio 1.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Semplifica $1 - (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1

Moltiplica $- (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$B = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Passaggio 1.3.6.2.1.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$B = 1 + \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

$B = 1 + \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Passaggio 1.3.6.2.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$B = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Passaggio 1.3.6.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{2 + 1}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Passaggio 1.3.6.2.1.4

Somma $2$ e $1$ .

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Passaggio 1.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{3}{2}, C = - \frac{1}{2}, A = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1} + \frac{C}{2 x - 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{\frac{3}{2}}{2 x + 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{x} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 x + 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{2 x + 1}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{3}{2 (2 x + 1)} + \frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{x} + \frac{3}{2 (2 x + 1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{2 x - 1}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{3}{2 (2 x + 1)} - \frac{1}{(2 x - 1) \cdot 2}$

Passaggio 1.5.5

Sposta $2$ alla sinistra di $2 x - 1$ .

$\int \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (2 x + 1)} - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 (2 x + 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{3}{2 (2 x + 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = 2 x + 1$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x - 1} d x)$

Passaggio 12

Sia $u_{2} = 2 x - 1$ . Allora $d u_{2} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sia $u_{2} = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 12.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 12.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 13.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 16

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 17

Semplifica.

$\ln (| x |) + \frac{3}{4} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 18

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x + 1$ .

$\ln (| x |) + \frac{3}{4} \ln (| 2 x + 1 |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 18.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x - 1$ .

$\ln (| x |) + \frac{3}{4} \ln (| 2 x + 1 |) - \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$