Calcolo Esempi

$\int \frac{6 e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = - \frac{1}{x}$ . Allora $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , quindi $x^{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = - \frac{1}{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

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Passaggio 2.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica.

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Passaggio 2.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Passaggio 2.1.3.5.2

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$x^{- 2}$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$6 \int e^{u} d u$

Passaggio 3

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$6 (e^{u} + C)$

Passaggio 4

Semplifica.

$6 e^{u} + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{1}{x}$ .

$6 e^{- \frac{1}{x}} + C$