Calcolo Esempi

$\int \frac{6 x^{2} - 16 x + 2}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

Passaggio 1

Scomponi $2$ da $6 x^{2} - 16 x + 2$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2}) - 16 x + 2}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi $2$ da $- 16 x$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

Passaggio 1.3

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (1)}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

Passaggio 1.4

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2}) + 2 (- 8 x)$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2} - 8 x) + 2 (1)}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

Passaggio 1.5

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2} - 8 x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2} - 8 x + 1)}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{3 x^{2} - 8 x + 1}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ . Allora $d u = (3 x^{2} - 8 x + 1) d x$ , quindi $\frac{1}{3 x^{2} - 8 x + 1} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + x + 6]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

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Passaggio 3.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia.

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Passaggio 3.1.4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 3.1.4.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 1 + 0$

Passaggio 3.1.4.3

Somma $3 x^{2} - 8 x + 1$ e $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$2 \ln (| u |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ .

$2 \ln (| x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 |) + C$