Calcolo Esempi

$\int \frac{9}{x} - 2 e^{3 x} + \sqrt{x^{5}} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{9}{x} d x + \int - 2 e^{3 x} d x + \int \sqrt{x^{5}} d x$

Passaggio 2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 e^{3 x} d x + \int \sqrt{x^{5}} d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$9 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 e^{3 x} d x + \int \sqrt{x^{5}} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$9 (\ln (| x |) + C) - 2 \int e^{3 x} d x + \int \sqrt{x^{5}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$9 (\ln (| x |) + C) - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int \sqrt{x^{5}} d x$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$9 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int \sqrt{x^{5}} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$9 (\ln (| x |) + C) - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int \sqrt{x^{5}} d x$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$9 (\ln (| x |) + C) + \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u + \int \sqrt{x^{5}} d x$

Passaggio 8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 (\ln (| x |) + C) - \frac{2}{3} \int e^{u} d u + \int \sqrt{x^{5}} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$9 (\ln (| x |) + C) - \frac{2}{3} (e^{u} + C) + \int \sqrt{x^{5}} d x$

Passaggio 10

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{5}}$ come $x^{\frac{5}{2}}$ .

$9 (\ln (| x |) + C) - \frac{2}{3} (e^{u} + C) + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$9 (\ln (| x |) + C) - \frac{2}{3} (e^{u} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Passaggio 12

Semplifica.

$9 \ln (| x |) - \frac{2}{3} e^{u} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$9 \ln (| x |) - \frac{2}{3} e^{3 x} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$