Calcolo Esempi

$\int 2^{\frac{- x}{2}} d x$

Passaggio 1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int 2^{- \frac{x}{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = - \frac{x}{2}$ . Allora $d u_{1} = - \frac{1}{2} d x$ , quindi $- 2 d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = - \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 3.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot (1 \cdot 2) d u_{1}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot 2 d u_{1}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int - 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 3.5

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int - (2 \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.6

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\int - (2^{1} \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int - 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 5.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 5.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 6

L'integrale di $2^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

Passaggio 7

Riscrivi $- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ come $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 8.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + u_{1}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + u_{1}} + C$

Passaggio 8.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- \frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 - \frac{x}{2}} + C$

Passaggio 9

$2^{1 - \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- \frac{2^{1 - \frac{x}{2}}}{\ln (2)} + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 - \frac{1}{2} x} + C$