Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 5}{x^{2} - 2 x - 8} d x$

Passaggio 1

Dividi $2 x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 5$ per $x^{2} - 2 x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$2 x$
	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$2 x$
$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$
					+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x$

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

Passaggio 1.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$5$

Passaggio 1.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 2 x + \frac{x + 5}{x^{2} - 2 x - 8} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 x d x + \int \frac{x + 5}{x^{2} - 2 x - 8} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x d x + \int \frac{x + 5}{x^{2} - 2 x - 8} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{x + 5}{x^{2} - 2 x - 8} d x$

Passaggio 5

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 4, 2$

Passaggio 5.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{x + 5}{(x - 4) (x + 2)}$

Passaggio 5.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Passaggio 5.1.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 5.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 5.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 5.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 5.1.6.2

Dividi $x + 5$ per $1$ .

$x + 5 = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 5.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x + 5 = \frac{A (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 5.1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 2)$ per $1$ .

$x + 5 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 5.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 5 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 5.1.7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$x + 5 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 5.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$x + 5 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 5.1.7.4.2

Dividi $(B) (x - 4)$ per $1$ .

$x + 5 = A x + 2 A + (B) (x - 4)$

Passaggio 5.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$x + 5 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 4$

Passaggio 5.1.7.6

Sposta $- 4$ alla sinistra di $B$ .

$x + 5 = A x + 2 A + B x - 4 B$

Passaggio 5.1.8

Sposta $2 A$ .

$x + 5 = A x + B x + 2 A - 4 B$

Passaggio 5.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 5.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = 2 A - 4 B$

Passaggio 5.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

Passaggio 5.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 2 A - 4 B$

Passaggio 5.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $5 = 2 A - 4 B$ con $1 - B$ .

$5 = 2 (1 - B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Semplifica $2 (1 - B) - 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 = 2 \cdot 1 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$5 = 2 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Sottrai $4 B$ da $- 2 B$ .

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per $B$ in $5 = 2 - 6 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 - 6 B = 5$ .

$2 - 6 B = 5$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 B = 5 - 2$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.3.2.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.3.3

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 B = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 B = 3$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ e $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.3.1.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$B = \frac{3 (1)}{- 6}$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.3.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.3.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 5.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- \frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $- \frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Semplifica $1 - (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.1

Moltiplica $- (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.4.2.1.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.4.2.1.4

Somma $2$ e $1$ .

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{3}{2}}{x - 4} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 4} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{x - 4}$ .

$\frac{3}{2 (x - 4)} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3}{2 (x - 4)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica $\frac{1}{x + 2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 (x - 4)} - \frac{1}{(x + 2) \cdot 2}$

Passaggio 5.5.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{3}{2 (x - 4)} - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{3}{2 (x - 4)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Passaggio 7

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{3}{2 (x - 4)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Passaggio 9

Sia $u_{1} = x - 4$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{1} = x - 4$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Passaggio 13

Sia $u_{2} = x + 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sia $u_{2} = x + 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 13.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 13.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 13.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 13.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 13.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

$x^{2} + \frac{3 \ln (| u_{1} |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 4$ .

$x^{2} + \frac{3 \ln (| x - 4 |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 2$ .

$x^{2} + \frac{3 \ln (| x - 4 |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| x + 2 |) + C$

Passaggio 17

$\ln (| x + 2 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} + \frac{3 \ln (| x - 4 |)}{2} - \frac{\ln (| x + 2 |)}{2} + C$

Passaggio 18

Riordina i termini.

$x^{2} + \frac{3}{2} \ln (| x - 4 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 2 |) + C$