Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x^{2} - 12 x + 4}{x^{3} - 4 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 12 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 12 x + 4}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 12 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) + 4}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.1.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 2}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.1.4

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 2}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.1.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} - 4 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2} x - 4 x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 4}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x + x^{2} \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2} (x - 4)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 4}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x^{2} (x - 4)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x^{2} (x - 4))}{x^{2} (x - 4)} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x^{2} (x - 4))}{x^{2} (x - 4)} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi $2 (x^{2} - 6 x + 2)$ per $1$ .

$2 (x^{2} - 6 x + 2) = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 2 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$2 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 2 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.1.2

Dividi $A (x - 4)$ per $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A (x - 4) + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x + A \cdot - 4 + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta $- 4$ alla sinistra di $A$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.4.1

Scomponi $x$ da $B (x^{2} (x - 4))$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.4.2.5

Dividi $B (x (x - 4))$ per $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x (x - 4)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 4) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 4) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.7

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x^{2} - 4 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.8

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} + B (- 4 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.10

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.10.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + \frac{C (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.8.10.2

Dividi $(C) (x^{2})$ per $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + (C) (x^{2})$

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + C x^{2}$

Passaggio 1.1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Sposta $B$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 x B + C x^{2}$

Passaggio 1.1.9.2

Sposta $- 4 A$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x + B x^{2} - 4 x B + C x^{2} - 4 A$

Passaggio 1.1.9.3

Sposta $- 4 x B$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 4 x B - 4 A$

Passaggio 1.1.9.4

Sposta $A x$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 4 x B - 4 A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = B + C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 12 = A - 4 B$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = - 4 A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$4 = - 4 A$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$4 = - 4 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $4 = - 4 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 A = 4$ .

$- 4 A = 4$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Passaggio 1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Passaggio 1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Passaggio 1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.3.1

Dividi $4$ per $- 4$ .

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 12 = A - 4 B$ con $- 1$ .

$- 12 = (- 1) - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$- 12 = - 1 - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = - 1 - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = - 1 - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $- 12 = - 1 - 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 - 4 B = - 12$ .

$- 1 - 4 B = - 12$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 B = - 12 + 1$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $- 12$ e $1$ .

$- 4 B = - 11$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 4 B = - 11$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 B = - 11$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 B = - 11$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{11}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $2 = B + C$ con $\frac{11}{4}$ .

$2 = (\frac{11}{4}) + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$2 = \frac{11}{4} + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = \frac{11}{4} + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = \frac{11}{4} + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $C$ in $2 = \frac{11}{4} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{11}{4} + C = 2$ .

$\frac{11}{4} + C = 2$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Sottrai $\frac{11}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 2 - \frac{11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$C = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.2.3

$2$ e $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{2 \cdot 4 - 11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.5.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$C = \frac{8 - 11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.2.5.2

Sottrai $11$ da $8$ .

$C = \frac{- 3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$C = \frac{- 3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = - \frac{3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$C = - \frac{3}{4} B = \frac{11}{4} A = - 1$

Passaggio 1.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$C = - \frac{3}{4}, B = \frac{11}{4}, A = - 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 4}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{\frac{11}{4}}{x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{\frac{11}{4}}{x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $\frac{11}{4}$ per $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Passaggio 1.5.5

Moltiplica $\frac{1}{x - 4}$ per $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} - \frac{3}{(x - 4) \cdot 4}$

Passaggio 1.5.6

Sposta $4$ alla sinistra di $x - 4$ .

$\int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \int x^{- 2} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{11}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{11}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 9

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - (\frac{3}{4} \int \frac{1}{x - 4} d x)$

Passaggio 10

Sia $u = x - 4$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u = x - 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 10.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 10.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{4} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$\frac{1}{x} + \frac{11 \ln (| x |)}{4} - \frac{3}{4} \ln (| u |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 4$ .

$\frac{1}{x} + \frac{11 \ln (| x |)}{4} - \frac{3}{4} \ln (| x - 4 |) + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$\frac{1}{x} + \frac{11}{4} \ln (| x |) - \frac{3}{4} \ln (| x - 4 |) + C$