Calcolo Esempi

$\int \frac{2}{\sqrt{7 - 6 x - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{7 - 6 x - x^{2}}} d x$

Passaggio 2

Riscrivi $7$ come $16$ più $- 9$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 9 - 6 x - x^{2}}} d x$

Passaggio 3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - (3^{2} + 6 x + x^{2})}} d x$

Passaggio 3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot 3 \cdot x$

Passaggio 3.3

Riscrivi il polinomio.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - (3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot x + x^{2})}} d x$

Passaggio 3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 3$ e $b = x$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - {(3 + x)}^{2}}} d x$

Passaggio 4

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - {(3 + x)}^{2}}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 3 + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 3 + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $3 + x$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 5.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (\frac{u}{4})$ .

$2 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Passaggio 7

Riscrivi $2 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ come $2 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$2 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 + x$ .

$2 \arcsin (\frac{1}{4} (3 + x)) + C$