Calcolo Esempi

$\int \frac{3}{2} \cdot (x e^{- 6 x}) d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

$x$ e $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{x \cdot 3}{2} \cdot e^{- 6 x} d x$

Passaggio 1.2

$\frac{x \cdot 3}{2}$ e $e^{- 6 x}$ .

$\int \frac{x \cdot 3 e^{- 6 x}}{2} d x$

Passaggio 1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\int \frac{3 x e^{- 6 x}}{2} d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} \int x e^{- 6 x} d x$

Passaggio 3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 6 x}$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{1}{6} e^{- 6 x}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$e^{- 6 x}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{e^{- 6 x}}{6}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Passaggio 4.2

$x$ e $\frac{e^{- 6 x}}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Passaggio 4.3

$e^{- 6 x}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \int - \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - - \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + 1 \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x$ per $1$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{- 6 x} d x)$

Passaggio 8

Sia $u = - 6 x$ . Allora $d u = - 6 d x$ , quindi $- \frac{1}{6} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = - 6 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 6$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{- 6} d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} (- \frac{1}{6}) d u)$

Passaggio 9.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int - \frac{e^{u}}{6} d u)$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} (- \int \frac{e^{u}}{6} d u))$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} (- (\frac{1}{6} \int e^{u} d u)))$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Passaggio 12.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Passaggio 13

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Riscrivi $\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ come $\frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Passaggio 14.2

Semplifica.

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Passaggio 14.2.1

$x$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x}{6} e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Passaggio 14.2.2

$e^{- 6 x}$ e $\frac{x}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Passaggio 14.2.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{36}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{e^{u}}{36}) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 6 x$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6}) + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Passaggio 16.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 16.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 6 x} x}{6}$ nel numeratore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{6} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Passaggio 16.2.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{3 (2)} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Passaggio 16.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Passaggio 16.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Passaggio 16.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{- e^{- 6 x} x}{2}$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Passaggio 16.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Passaggio 16.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 16.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 6 x}}{36}$ nel numeratore.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{36} + C$

Passaggio 16.5.2

Scomponi $3$ da $36$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{3 (12)} + C$

Passaggio 16.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{3 \cdot 12} + C$

Passaggio 16.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{12} + C$

Passaggio 16.6

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{- e^{- 6 x}}{12}$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{2 \cdot 12} + C$

Passaggio 16.7

Moltiplica $2$ per $12$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{24} + C$

Passaggio 16.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 16.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{24} + C$

Passaggio 16.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{- 6 x} x}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24} + C$

Passaggio 16.9

Riordina i fattori in $- \frac{e^{- 6 x} x}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24}$ .

$- \frac{x e^{- 6 x}}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$- \frac{1}{4} x e^{- 6 x} - \frac{1}{24} e^{- 6 x} + C$