Calcolo Esempi

$\int \frac{4 x^{2} + 38 x + 9}{{(x + 3)}^{2} (x + 5)} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

$\frac{A}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{B}{x + 3}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{x + 5}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x + 3)}^{2} (x + 5)$ .

$\frac{(4 x^{2} + 38 x + 9) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{{(x + 3)}^{2} (x + 5)} = \frac{(A) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 3} + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di ${(x + 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(4 x^{2} + 38 x + 9) (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 3} + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x^{2} + 38 x + 9) (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 3} + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.6.2

Dividi $4 x^{2} + 38 x + 9$ per $1$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = \frac{(A) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 3} + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = \frac{A {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 3} + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 5)$ per $1$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = (A) (x + 5) + \frac{(B) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 3} + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + A \cdot 5 + \frac{(B) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 3} + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $5$ alla sinistra di $A$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 \cdot A + \frac{(B) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 3} + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.4

Elimina il fattore comune di ${(x + 3)}^{2}$ e $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1

Scomponi $x + 3$ da $(B) {(x + 3)}^{2} (x + 5)$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + \frac{(x + 3) (B (x + 3) (x + 5))}{x + 3} + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + \frac{(x + 3) (B (x + 3) (x + 5))}{(x + 3) \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + \frac{(x + 3) (B (x + 3) (x + 5))}{(x + 3) \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + \frac{B (x + 3) (x + 5)}{1} + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.4.2.4

Dividi $B (x + 3) (x + 5)$ per $1$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B (x + 3) (x + 5) + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + (B x + B \cdot 3) (x + 5) + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.6

Sposta $3$ alla sinistra di $B$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + (B x + 3 \cdot B) (x + 5) + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.7

Espandi $(B x + 3 B) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x (x + 5) + 3 B (x + 5) + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 + 3 B (x + 5) + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 + 3 B x + 3 B \cdot 5 + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.8.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.8.1.1.1

Sposta $x$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 5 + 3 B x + 3 B \cdot 5 + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.8.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + B x \cdot 5 + 3 B x + 3 B \cdot 5 + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.8.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $B x$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 \cdot (B x) + 3 B x + 3 B \cdot 5 + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.8.1.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 B x + 3 B x + 15 B + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.8.2

Somma $5 B x$ e $3 B x$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.9

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.9.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + \frac{(C) {(x + 3)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.1.7.9.2

Dividi $(C) {(x + 3)}^{2}$ per $1$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + (C) {(x + 3)}^{2}$

Passaggio 1.1.7.10

Riscrivi ${(x + 3)}^{2}$ come $(x + 3) (x + 3)$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + C ((x + 3) (x + 3))$

Passaggio 1.1.7.11

Espandi $(x + 3) (x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + C (x (x + 3) + 3 (x + 3))$

Passaggio 1.1.7.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + C (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3))$

Passaggio 1.1.7.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + C (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3)$

Passaggio 1.1.7.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.12.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + C (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3)$

Passaggio 1.1.7.12.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + C (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3)$

Passaggio 1.1.7.12.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + C (x^{2} + 3 x + 3 x + 9)$

Passaggio 1.1.7.12.2

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + C (x^{2} + 6 x + 9)$

Passaggio 1.1.7.13

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + C x^{2} + C (6 x) + C \cdot 9$

Passaggio 1.1.7.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.14.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + C x^{2} + 6 C x + C \cdot 9$

Passaggio 1.1.7.14.2

Sposta $9$ alla sinistra di $C$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + C x^{2} + 6 C x + 9 \cdot C$

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 B x + 15 B + C x^{2} + 6 C x + 9 C$

Passaggio 1.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta $B$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 x B + 15 B + C x^{2} + 6 C x + 9 C$

Passaggio 1.1.8.2

Sposta $15 B$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + 5 A + B x^{2} + 8 x B + C x^{2} + 6 C x + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta $5 A$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + B x^{2} + 8 x B + C x^{2} + 6 C x + 5 A + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.1.8.4

Sposta $8 x B$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = A x + B x^{2} + C x^{2} + 8 x B + 6 C x + 5 A + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.1.8.5

Sposta $A x$ .

$4 x^{2} + 38 x + 9 = B x^{2} + C x^{2} + A x + 8 x B + 6 C x + 5 A + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = B + C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$38 = A + 8 B + 6 C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$4 = B + C$

$38 = A + 8 B + 6 C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

$4 = B + C$

$38 = A + 8 B + 6 C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $B$ in $4 = B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $B + C = 4$ .

$B + C = 4$

$38 = A + 8 B + 6 C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 4 - C$

$38 = A + 8 B + 6 C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

$B = 4 - C$

$38 = A + 8 B + 6 C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $4 - C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $38 = A + 8 B + 6 C$ con $4 - C$ .

$38 = A + 8 (4 - C) + 6 C$

$B = 4 - C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $A + 8 (4 - C) + 6 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$38 = A + 8 \cdot 4 + 8 (- C) + 6 C$

$B = 4 - C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $8$ per $4$ .

$38 = A + 32 + 8 (- C) + 6 C$

$B = 4 - C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$38 = A + 32 - 8 C + 6 C$

$B = 4 - C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

$38 = A + 32 - 8 C + 6 C$

$B = 4 - C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Somma $- 8 C$ e $6 C$ .

$38 = A + 32 - 2 C$

$B = 4 - C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

$38 = A + 32 - 2 C$

$B = 4 - C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

$38 = A + 32 - 2 C$

$B = 4 - C$

$9 = 5 A + 15 B + 9 C$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $9 = 5 A + 15 B + 9 C$ con $4 - C$ .

$9 = 5 A + 15 (4 - C) + 9 C$

$38 = A + 32 - 2 C$

$B = 4 - C$

Passaggio 1.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1

Semplifica $5 A + 15 (4 - C) + 9 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 = 5 A + 15 \cdot 4 + 15 (- C) + 9 C$

$38 = A + 32 - 2 C$

$B = 4 - C$

Passaggio 1.3.2.4.1.1.2

Moltiplica $15$ per $4$ .

$9 = 5 A + 60 + 15 (- C) + 9 C$

$38 = A + 32 - 2 C$

$B = 4 - C$

Passaggio 1.3.2.4.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$9 = 5 A + 60 - 15 C + 9 C$

$38 = A + 32 - 2 C$

$B = 4 - C$

$9 = 5 A + 60 - 15 C + 9 C$

$38 = A + 32 - 2 C$

$B = 4 - C$

Passaggio 1.3.2.4.1.2

Somma $- 15 C$ e $9 C$ .

$9 = 5 A + 60 - 6 C$

$38 = A + 32 - 2 C$

$B = 4 - C$

$9 = 5 A + 60 - 6 C$

$38 = A + 32 - 2 C$

$B = 4 - C$

$9 = 5 A + 60 - 6 C$

$38 = A + 32 - 2 C$

$B = 4 - C$

$9 = 5 A + 60 - 6 C$

$38 = A + 32 - 2 C$

$B = 4 - C$

Passaggio 1.3.3

Riordina $4$ e $- C$ .

$B = - C + 4$

$9 = 5 A + 60 - 6 C$

$38 = A + 32 - 2 C$

Passaggio 1.3.4

Risolvi per $A$ in $38 = A + 32 - 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $A + 32 - 2 C = 38$ .

$A + 32 - 2 C = 38$

$B = - C + 4$

$9 = 5 A + 60 - 6 C$

Passaggio 1.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Sottrai $32$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A - 2 C = 38 - 32$

$B = - C + 4$

$9 = 5 A + 60 - 6 C$

Passaggio 1.3.4.2.2

Somma $2 C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$A = 38 - 32 + 2 C$

$B = - C + 4$

$9 = 5 A + 60 - 6 C$

Passaggio 1.3.4.2.3

Sottrai $32$ da $38$ .

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$9 = 5 A + 60 - 6 C$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$9 = 5 A + 60 - 6 C$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$9 = 5 A + 60 - 6 C$

Passaggio 1.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $6 + 2 C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $9 = 5 A + 60 - 6 C$ con $6 + 2 C$ .

$9 = 5 (6 + 2 C) + 60 - 6 C$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Semplifica $5 (6 + 2 C) + 60 - 6 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 = 5 \cdot 6 + 5 (2 C) + 60 - 6 C$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.5.2.1.1.2

Moltiplica $5$ per $6$ .

$9 = 30 + 5 (2 C) + 60 - 6 C$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.5.2.1.1.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$9 = 30 + 10 C + 60 - 6 C$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$9 = 30 + 10 C + 60 - 6 C$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.5.2.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.2.1

Somma $30$ e $60$ .

$9 = 10 C + 90 - 6 C$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.5.2.1.2.2

Sottrai $6 C$ da $10 C$ .

$9 = 4 C + 90$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$9 = 4 C + 90$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$9 = 4 C + 90$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$9 = 4 C + 90$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$9 = 4 C + 90$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.6

Risolvi per $C$ in $9 = 4 C + 90$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Riscrivi l'equazione come $4 C + 90 = 9$ .

$4 C + 90 = 9$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Sottrai $90$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 C = 9 - 90$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.6.2.2

Sottrai $90$ da $9$ .

$4 C = - 81$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$4 C = - 81$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.6.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 C = - 81$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 C = - 81$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 81}{4}$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 81}{4}$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.6.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{- 81}{4}$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$C = \frac{- 81}{4}$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$C = \frac{- 81}{4}$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = - \frac{81}{4}$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$C = - \frac{81}{4}$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$C = - \frac{81}{4}$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

$C = - \frac{81}{4}$

$A = 6 + 2 C$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- \frac{81}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $A = 6 + 2 C$ con $- \frac{81}{4}$ .

$A = 6 + 2 (- \frac{81}{4})$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1

Semplifica $6 + 2 (- \frac{81}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{81}{4}$ nel numeratore.

$A = 6 + 2 (\frac{- 81}{4})$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7.2.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$A = 6 + 2 (\frac{- 81}{2 (2)})$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7.2.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$A = 6 + 2 (\frac{- 81}{2 \cdot 2})$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7.2.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$A = 6 + \frac{- 81}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

$A = 6 + \frac{- 81}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7.2.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = 6 - \frac{81}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

$A = 6 - \frac{81}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7.2.1.2

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$A = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7.2.1.3

$6$ e $\frac{2}{2}$ .

$A = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{6 \cdot 2 - 81}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.5.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$A = \frac{12 - 81}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7.2.1.5.2

Sottrai $81$ da $12$ .

$A = \frac{- 69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

$A = \frac{- 69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = - C + 4$

Passaggio 1.3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = - C + 4$ con $- \frac{81}{4}$ .

$B = - (- \frac{81}{4}) + 4$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

Passaggio 1.3.7.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.4.1

Semplifica $- (- \frac{81}{4}) + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.4.1.1

Moltiplica $- (- \frac{81}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.4.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$B = 1 (\frac{81}{4}) + 4$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

Passaggio 1.3.7.4.1.1.2

Moltiplica $\frac{81}{4}$ per $1$ .

$B = \frac{81}{4} + 4$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = \frac{81}{4} + 4$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

Passaggio 1.3.7.4.1.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$B = \frac{81}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

Passaggio 1.3.7.4.1.3

$4$ e $\frac{4}{4}$ .

$B = \frac{81}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

Passaggio 1.3.7.4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{81 + 4 \cdot 4}{4}$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

Passaggio 1.3.7.4.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.4.1.5.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$B = \frac{81 + 16}{4}$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

Passaggio 1.3.7.4.1.5.2

Somma $81$ e $16$ .

$B = \frac{97}{4}$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = \frac{97}{4}$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = \frac{97}{4}$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = \frac{97}{4}$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

$B = \frac{97}{4}$

$A = - \frac{69}{2}$

$C = - \frac{81}{4}$

Passaggio 1.3.8

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{97}{4}, A = - \frac{69}{2}, C = - \frac{81}{4}$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{x + 5}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{- \frac{69}{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{\frac{97}{4}}{x + 3} + \frac{- \frac{81}{4}}{x + 5}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{69}{2} \cdot \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{\frac{97}{4}}{x + 3} + \frac{- \frac{81}{4}}{x + 5}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ per $\frac{69}{2}$ .

$- \frac{69}{{(x + 3)}^{2} \cdot 2} + \frac{\frac{97}{4}}{x + 3} + \frac{- \frac{81}{4}}{x + 5}$

Passaggio 1.5.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 3)}^{2}$ .

$- \frac{69}{2 {(x + 3)}^{2}} + \frac{\frac{97}{4}}{x + 3} + \frac{- \frac{81}{4}}{x + 5}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{69}{2 {(x + 3)}^{2}} + \frac{97}{4} \cdot \frac{1}{x + 3} + \frac{- \frac{81}{4}}{x + 5}$

Passaggio 1.5.5

Moltiplica $\frac{97}{4}$ per $\frac{1}{x + 3}$ .

$- \frac{69}{2 {(x + 3)}^{2}} + \frac{97}{4 (x + 3)} + \frac{- \frac{81}{4}}{x + 5}$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{69}{2 {(x + 3)}^{2}} + \frac{97}{4 (x + 3)} - \frac{81}{4} \cdot \frac{1}{x + 5}$

Passaggio 1.5.7

Moltiplica $\frac{1}{x + 5}$ per $\frac{81}{4}$ .

$- \frac{69}{2 {(x + 3)}^{2}} + \frac{97}{4 (x + 3)} - \frac{81}{(x + 5) \cdot 4}$

Passaggio 1.5.8

Sposta $4$ alla sinistra di $x + 5$ .

$\int - \frac{69}{2 {(x + 3)}^{2}} + \frac{97}{4 (x + 3)} - \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{69}{2 {(x + 3)}^{2}} d x + \int \frac{97}{4 (x + 3)} d x + \int - \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{69}{2 {(x + 3)}^{2}} d x + \int \frac{97}{4 (x + 3)} d x + \int - \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{69}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{69}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{69}{2} \int \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} d x) + \int \frac{97}{4 (x + 3)} d x + \int - \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = x + 3$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = x + 3$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{69}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{97}{4 (x + 3)} d x + \int - \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{69}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{97}{4 (x + 3)} d x + \int - \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{69}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{97}{4 (x + 3)} d x + \int - \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{69}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{97}{4 (x + 3)} d x + \int - \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- \frac{69}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{97}{4 (x + 3)} d x + \int - \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{97}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{97}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{69}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{97}{4} \int \frac{1}{x + 3} d x + \int - \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = x + 3$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = x + 3$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{69}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{97}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{69}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{97}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) + \int - \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{69}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{97}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - \int \frac{81}{4 (x + 5)} d x$

Passaggio 12

Poiché $\frac{81}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{81}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{69}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{97}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - (\frac{81}{4} \int \frac{1}{x + 5} d x)$

Passaggio 13

Sia $u_{3} = x + 5$ . Allora $d u_{3} = d x$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sia $u_{3} = x + 5$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Differenzia $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 13.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 13.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 13.1.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 13.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 13.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$- \frac{69}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{97}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - \frac{81}{4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 14

L'integrale di $\frac{1}{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$- \frac{69}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{97}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - \frac{81}{4} (\ln (| u_{3} |) + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

$\frac{69}{2 u_{1}} + \frac{97 \ln (| u_{2} |)}{4} - \frac{81}{4} \ln (| u_{3} |) + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 3$ .

$\frac{69}{2 (x + 3)} + \frac{97 \ln (| u_{2} |)}{4} - \frac{81}{4} \ln (| u_{3} |) + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 3$ .

$\frac{69}{2 (x + 3)} + \frac{97 \ln (| x + 3 |)}{4} - \frac{81}{4} \ln (| u_{3} |) + C$

Passaggio 16.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $x + 5$ .

$\frac{69}{2 (x + 3)} + \frac{97 \ln (| x + 3 |)}{4} - \frac{81}{4} \ln (| x + 5 |) + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$\frac{69}{2 (x + 3)} + \frac{97}{4} \ln (| x + 3 |) - \frac{81}{4} \ln (| x + 5 |) + C$