Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x (x - 1)$ . Allora $d u = (2 x - 1) d x$ , quindi $\frac{1}{2 x - 1} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x (x - 1)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [x (x - 1)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x - 1$ .

$x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x + (x - 1) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 1.1.3.6.1

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$x + x - 1$

Passaggio 1.1.3.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$2 x - 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x (x - 1)$ .

$\ln (| x (x - 1) |) + C$