Calcolo Esempi

$\int \frac{3 x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Passaggio 2

Sia $x = 5 \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sec (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $25$ da $25 \sec^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $25$ da $- 25$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $25$ da $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.6

Riscrivi $25 \tan^{2} (t)$ come ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 3.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $5 \tan (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $5 \tan (t)$ da $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \int {(5 \sec (t))}^{3} \sec (t) d t$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $5$ da $5 \sec (t)$ .

$3 \int {(5 (\sec (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $5 (\sec (t))$ .

$3 \int 5^{3} \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 3.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$3 \int 125 \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 3.2.2.4

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$3 \int 125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) d t$

Passaggio 3.2.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \int 125 {\sec (t)}^{1 + 3} d t$

Passaggio 3.2.2.6

Somma $1$ e $3$ .

$3 \int 125 \sec^{4} (t) d t$

Passaggio 4

Poiché $125$ è costante rispetto a $t$ , sposta $125$ fuori dall'integrale.

$3 (125 \int \sec^{4} (t) d t)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $125$ per $3$ .

$375 \int \sec^{4} (t) d t$

Passaggio 5.2

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$375 \int {\sec (t)}^{2 + 2} d t$

Passaggio 5.3

Riscrivi ${\sec (t)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$375 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (t)$ come $1 + \tan^{2} (t)$ .

$375 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Sia $u = \tan (t)$ . Allora $d u = \sec^{2} (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = \tan (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Passaggio 7.1.2

La derivata di $\tan (t)$ rispetto a $t$ è $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$375 \int 1 + u^{2} d u$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$375 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$375 (u + C + \int u^{2} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$375 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Passaggio 12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (t)$ .

$375 (\tan (t) + \frac{1}{3} \tan^{3} (t)) + C$

Passaggio 12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$375 (\tan (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $arcsec (\frac{x}{5})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Perciò, $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ è $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{x}{5}$ e $b = 1$ .

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.7

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.9

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.10

Moltiplica $\frac{x + 5}{5}$ per $\frac{x - 5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.11

Moltiplica $5$ per $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.12

Riscrivi $\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ come ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.12.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(x + 5) (x - 5)$ .

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.12.2

Scomponi la potenza perfetta $5^{2}$ su $25$ .

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.12.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.13

Estrai i termini dal radicale.

$375 (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.1.14

$\frac{1}{5}$ e $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 13.2

$\frac{1}{3}$ e $\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3}) + C$

Passaggio 13.3

Applica la proprietà distributiva.

$375 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Passaggio 13.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 13.4.1

Scomponi $5$ da $375$ .

$5 (75) \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Passaggio 13.4.2

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 75 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Passaggio 13.4.3

Riscrivi l'espressione.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Passaggio 13.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Scomponi $3$ da $375$ .

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 (125) \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Passaggio 13.5.2

Elimina il fattore comune.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 \cdot 125 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Passaggio 13.5.3

Riscrivi l'espressione.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$