Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{- 2} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $- u^{- 1}$ per $1$ e per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1^{- 1}) + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 1 \cdot 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Passaggio 4.2.3

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 5.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 5.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 5.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 5.2.6.5

Calcola l'esponente.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$- 1 + \sqrt{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 1 + \sqrt{2}$

Forma decimale:

$0.41421356 \dots$