Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot^{3} (x) d x$

Passaggio 1

Applica la formula di riduzione.

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Passaggio 2

L'integrale di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sin (x) |)$ .

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Passaggio 3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.1.1

Calcola $- \frac{\cot^{2} (x)}{2}$ per $\frac{π}{2}$ e per $\frac{π}{4}$ .

$(- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2}) + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Passaggio 3.1.2

Calcola $\ln (| \sin (x) |)$ per $\frac{π}{2}$ e per $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Passaggio 3.1.3

Semplifica.

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Passaggio 3.1.3.1

Per scrivere $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.1.3.2

$- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.1.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Passaggio 3.2.2

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Passaggio 3.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Passaggio 3.2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Passaggio 3.2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Passaggio 3.2.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Passaggio 3.2.8

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Passaggio 3.2.9

Sottrai $2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ da $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Passaggio 3.2.10

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 3.2.10.1

Scomponi $2$ da $- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2}$

Passaggio 3.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 (1)}$

Passaggio 3.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} + \frac{- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{1}$

Passaggio 3.2.10.2.4

Dividi $- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Passaggio 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.70710678$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} - \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Forma decimale:

$0.15342640 \dots$