Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} x \cos (4 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (4 x)$ .

$x (\frac{1}{4} \sin (4 x))]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{4}$ e $\sin (4 x)$ .

$x \frac{\sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (4 x) d x)$

Passaggio 4

Sia $u = 4 x$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \frac{π}{4}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 4 \frac{π}{4}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = π$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{π}{3}$

Passaggio 4.5

$4$ e $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Passaggio 5

$\sin (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \frac{\sin (u)}{4} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{16} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{16} - \cos (u)]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $\frac{x \sin (4 x)}{4}$ per $\frac{π}{3}$ e per $\frac{π}{4}$ .

$(\frac{\frac{π}{3} \sin (4 \frac{π}{3})}{4}) - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} - \cos (u)]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$

Passaggio 9.2

Calcola $- \cos (u)$ per $\frac{4 π}{3}$ e per $π$ .

$(\frac{\frac{π}{3} \sin (4 \frac{π}{3})}{4}) - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

$4$ e $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} \sin (\frac{4 π}{3})}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3.2

$\frac{π}{3}$ e $\sin (\frac{4 π}{3})$ .

$\frac{\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi $\frac{\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}}{4}$ come un prodotto.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica $\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3 \cdot 4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3.6

$4$ e $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{4 π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{4 π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3.7.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (π)}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3.8

$\frac{π}{4}$ e $\sin (π)$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π \sin (π)}{4}}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3.9

Riscrivi $\frac{\frac{π \sin (π)}{4}}{4}$ come un prodotto.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - (\frac{π \sin (π)}{4} \cdot \frac{1}{4}) - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3.10

Moltiplica $\frac{π \sin (π)}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{π \sin (π)}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3.11

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Passaggio 9.3.12

Per scrivere $- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot \frac{12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 9.3.13

$- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} + \frac{- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot 12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 9.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot 12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 9.3.15

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - 12 (\frac{1}{16}) (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 9.3.16

$- 12$ e $\frac{1}{16}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{- 12}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 9.3.17

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.17.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 (- 3)}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 9.3.17.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.17.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 9.3.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 9.3.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{- 3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 9.3.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{π (- \sin (\frac{π}{3})) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{π (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.3

$π$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- - \cos (\frac{π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- - \frac{1}{2} + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.4.3

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (1 (\frac{1}{2}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.4.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.4.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - \cos (0))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.4.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1)}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - 2}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- \frac{1}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.10

Moltiplica $- \frac{3}{4} (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + 1 (\frac{3}{4}) \frac{1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.10.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.10.3

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4 \cdot 2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.10.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.11

Per scrivere $- \frac{π \sqrt{3}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.12

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.12.1

Moltiplica $\frac{π \sqrt{3}}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.12.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3} \cdot 4}{8} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{- π \sqrt{3} \cdot 4 + 3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.1.14

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8} \cdot \frac{1}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8} \cdot \frac{1}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8}$ per $\frac{1}{12}$ .

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8 \cdot 12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $8$ per $12$ .

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.4

Scomponi $- 1$ da $- 4 π \sqrt{3}$ .

$\frac{- (4 π \sqrt{3}) + 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.5

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 π \sqrt{3}) - 1 (- 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.6

Scomponi $- 1$ da $- (4 π \sqrt{3}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 π \sqrt{3} - 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.7

Riscrivi $- (4 π \sqrt{3} - 3)$ come $- 1 (4 π \sqrt{3} - 3)$ .

$\frac{- 1 (4 π \sqrt{3} - 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Passaggio 10.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \sin (0)}{16}$

Passaggio 10.9.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \cdot 0}{16}$

Passaggio 10.10

Moltiplica $π$ per $0$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{0}{16}$

Passaggio 10.11

Dividi $0$ per $16$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - 0$

Passaggio 11

Sottrai $0$ da $- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$

Forma decimale:

$- 0.19547492 \dots$