Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) - \cos (x) d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{6}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

$u_{upper} = π$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{π}{3}}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Passaggio 3

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{3}}^{π} \sin (u) d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} - \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Passaggio 7

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} - (\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $- \cos (u)$ per $π$ e per $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{3})) - (\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Passaggio 8.2

Calcola $\sin (x)$ per $\frac{π}{2}$ e per $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{2} ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{3})) - ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 8.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{3})) - (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 9.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (1 - \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 9.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (1 - \frac{1}{2})$

Passaggio 9.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 9.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - \frac{2 - 1}{2}$

Passaggio 9.6

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{1}{2} (- - \cos (0) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- 1 \cdot 1) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- - 1 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 10.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 10.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 10.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 1}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 10.7

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 10.8

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

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Passaggio 10.8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 10.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Passaggio 10.9

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 10.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 10.10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{4}$

Passaggio 10.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 - 2}{4}$

Passaggio 10.12

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.25$