Calcolo Esempi

$\int \sin^{2} (2 x) \cos^{2} (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.2

$\frac{\sin^{2} (u_{1})}{2}$ e $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 5

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ per $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{(1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{(1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1}))}{4} d u_{1}$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1})$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2})$

Passaggio 11

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{1}{16} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 11.2

Espandi $(1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{16} \int 1 (1 + \cos (u_{2})) - \cos (u_{2}) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 11.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cdot 1 - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 11.2.4

Sposta $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 11.2.5

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + 1 \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 11.2.6

Moltiplica $\cos (u_{2})$ per $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 11.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 11.2.8

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos (u_{2}) \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 11.2.9

Eleva $\cos (u_{2})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 11.2.10

Eleva $\cos (u_{2})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 11.2.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - {\cos (u_{2})}^{1 + 1} d u_{2}$

Passaggio 11.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 11.2.13

Sottrai $\cos (u_{2})$ da $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 11.2.14

Sottrai $\cos^{2} (u_{2})$ da $0$ .

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{16} (\int d u_{2} + \int - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C + \int - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 15

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (u_{2})$ come $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 16

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 17

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 18

Applica la regola costante.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 19

Sia $u_{3} = 2 u_{2}$ . Allora $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sia $u_{3} = 2 u_{2}$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Passaggio 19.1.1

Differenzia $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Passaggio 19.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $2 u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Passaggio 19.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 19.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 19.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}))$

Passaggio 20

$\cos (u_{3})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}))$

Passaggio 21

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

Passaggio 22

L'integrale di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)))$

Passaggio 23

Semplifica.

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Passaggio 23.1

Semplifica.

$\frac{1}{16} (u_{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Passaggio 23.2

Semplifica.

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Passaggio 23.2.1

Per scrivere $u_{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Passaggio 23.2.2

$u_{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2} \cdot 2}{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Passaggio 23.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2} \cdot 2 - u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Passaggio 23.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 \cdot u_{2} - u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Passaggio 23.2.5

Sottrai $u_{2}$ da $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Passaggio 24

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 24.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

Passaggio 24.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 u_{1}}{2} - \frac{\sin (2 u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 24.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 24.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 u_{1}))}{4}) + C$

Passaggio 24.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

Passaggio 25

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

Passaggio 25.1.1.2

Dividi $2 x$ per $1$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

Passaggio 25.1.2

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 \cdot 2 x)}{4}) + C$

Passaggio 25.1.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Passaggio 25.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Passaggio 25.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.3.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Passaggio 25.3.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Passaggio 25.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Passaggio 25.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Passaggio 25.4

$\frac{1}{8}$ e $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

Passaggio 25.5

Moltiplica $\frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.5.1

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{\sin (8 x)}{4}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (8 x)}{16 \cdot 4} + C$

Passaggio 25.5.2

Moltiplica $16$ per $4$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (8 x)}{64} + C$

Passaggio 26

Riordina i termini.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{64} \sin (8 x) + C$