Calcolo Esempi

$\int \sec^{4} (x) \tan^{3} (x) d x$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} \tan^{3} (x) d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${\sec (x)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) d x$

Passaggio 2

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (x)$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{3} d u$

Passaggio 4

Espandi $(1 + u^{2}) u^{3}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 u^{3} + u^{2} u^{3} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica $u^{3}$ per $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} u^{3} d u$

Passaggio 4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} + u^{2 + 3} d u$

Passaggio 4.4

Somma $2$ e $3$ .

$\int u^{3} + u^{5} d u$

Passaggio 4.5

Riordina $u^{3}$ e $u^{5}$ .

$\int u^{5} + u^{3} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int u^{3} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 8

Semplifica.

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{1}{6} \tan^{6} (x) + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$