Calcolo Esempi

$\int \tan^{7} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\tan^{6} (x)$ .

$\int \tan^{6} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (3)} \tan (x) d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\tan (x)}^{2 (3)}$ come un elevamento a potenza.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Passaggio 4

Usa il teorema binomiale.

$\int ({(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} + {(\sec^{2} (x))}^{3}) \tan (x) d x$

Passaggio 5

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int {(- 1)}^{3} \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\int - 1 \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $- 1 \tan (x)$ come $- \tan (x)$ .

$\int - \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Passaggio 5.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\int - \tan (x) + 3 \cdot 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

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Passaggio 5.2.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Passaggio 5.2.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica gli esponenti in ${(\sec^{2} (x))}^{3}$ .

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Passaggio 5.2.7.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 3} \tan (x) d x$

Passaggio 5.2.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \tan (x) d x + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \tan (x) d x + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 10

Sia $u_{1} = \sec (x)$ . Allora $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u_{1} = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 10.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 \int u_{1} d u_{1} + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 12

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 13

Sia $u_{2} = \sec (x)$ . Allora $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 13.1

Sia $u_{2} = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 13.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 13.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 13.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 \int {u_{2}}^{3} d u_{2} + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 14

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{3}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 15

Sia $u_{3} = \sec (x)$ . Allora $d u_{3} = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{3} = d x$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Passaggio 15.1

Sia $u_{3} = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Passaggio 15.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 15.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 15.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \int {u_{3}}^{5} d u_{3}$

Passaggio 16

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{3}}^{5}$ rispetto a $u_{3}$ è $\frac{1}{6} {u_{3}}^{6}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Passaggio 17

Semplifica.

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Passaggio 17.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

$\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Passaggio 17.1.2

$\frac{1}{4}$ e ${u_{2}}^{4}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{{u_{2}}^{4}}{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Passaggio 17.2

Semplifica.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 {u_{1}}^{2}}{2} - \frac{3 {u_{2}}^{4}}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Passaggio 18

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 18.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 {u_{2}}^{4}}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Passaggio 18.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 \sec^{4} (x)}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Passaggio 18.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 \sec^{4} (x)}{4} + \frac{1}{6} \sec^{6} (x) + C$

Passaggio 19

Riordina i termini.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3}{2} \sec^{2} (x) - \frac{3}{4} \sec^{4} (x) + \frac{1}{6} \sec^{6} (x) + C$