Calcolo Esempi

$\int \sqrt{x^{2} + 10 x} d x$

Passaggio 1

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Passaggio 1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Passaggio 1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{5}{1}$

Passaggio 1.3.2.2.4

Dividi $5$ per $1$ .

$d = 5$

Passaggio 1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Passaggio 1.4.2.1.3

Dividi $100$ per $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Passaggio 1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$e = 0 - 25$

Passaggio 1.4.2.2

Sottrai $25$ da $0$ .

$e = - 25$

Passaggio 1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x + 5)}^{2} - 25$ .

$\int \sqrt{{(x + 5)}^{2} - 25} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x + 5$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = x + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u^{2} - 25} d u$

Passaggio 3

Sia $u = 5 \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sec (t)$ .

$\int \sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $25$ da $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $25$ da $- 25$ .

$\int \sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $25$ da $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{25 \tan^{2} (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi $25 \tan^{2} (t)$ come ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int 5 \tan (t) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\int 25 \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4.2.2

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 25 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t) d t$

Passaggio 4.2.3

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 25 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t) d t$

Passaggio 4.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 25 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Passaggio 4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int 25 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 5

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , sposta $25$ fuori dall'integrale.

$25 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 6

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$25 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 7

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$25 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$25 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 8.2

Semplifica ciascun termine.

$25 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$25 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$25 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 11

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 12

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{3} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Passaggio 13

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Passaggio 14

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 15

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Passaggio 17

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Somma $1$ e $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 17.2

Riordina $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Passaggio 18

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Passaggio 19

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 19.2

Applica la proprietà distributiva.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 19.3

Riordina $\sec (t)$ e $- 1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 20

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 21

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 22

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Passaggio 23

Somma $1$ e $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 24

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Passaggio 25

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Passaggio 26

Somma $2$ e $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 27

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 28

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 29

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 30

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.1

Applica la proprietà distributiva.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 30.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 31

Risolvendo $\int \sec^{3} (t) d t$ , troviamo che $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Passaggio 32

Moltiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ per $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Passaggio 33

Semplifica.

$25 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Passaggio 34

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$25 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Passaggio 34.2

Somma $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ e $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Passaggio 34.3

$25$ e $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{25 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

Passaggio 35

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 35.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{u}{5})$ .

$\frac{25 (\sec (arcsec (\frac{u}{5})) \tan (arcsec (\frac{u}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{u}{5})) + \tan (arcsec (\frac{u}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 35.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 5$ .

$\frac{25 (\sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 36.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 36.1.1

Le funzioni secante e arcosecante sono inverse.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.2

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $arcsec (\frac{x + 5}{5})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Perciò, $\tan (arcsec (\frac{x + 5}{5}))$ è $\sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{x + 5}{5}$ e $b = 1$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + 1) (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 36.1.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 5 + 5}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.5.3

Somma $5$ e $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.5.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.5.5

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.5.7

Riscrivi $\frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 36.1.5.7.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 5}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.5.7.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 0}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.5.7.3

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.6

Moltiplica $\frac{x + 10}{5}$ per $\frac{x}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{(x + 10) x}{5 \cdot 5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.7

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{(x + 10) x}{25}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.8

Riscrivi $\frac{(x + 10) x}{25}$ come ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 36.1.8.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(x + 10) x$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{25}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.8.2

Scomponi la potenza perfetta $5^{2}$ su $25$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.8.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 10) x}) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.10

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{25 (\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{5} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.11

Moltiplica $\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 36.1.11.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{x + 5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5 \cdot 5} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.11.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{25} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.12

$\frac{x + 5}{25}$ e $\sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 36.1.13.1

Le funzioni secante e arcosecante sono inverse.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.2

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{x + 5}{5}$ e $b = 1$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + 1) (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 36.1.13.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 5 + 5}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.5.3

Somma $5$ e $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.5.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.5.5

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.5.7

Riscrivi $\frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 36.1.13.5.7.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 5}{5}} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.5.7.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 0}{5}} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.5.7.3

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x}{5}} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.6

Moltiplica $\frac{x + 10}{5}$ per $\frac{x}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{(x + 10) x}{5 \cdot 5}} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.7

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{(x + 10) x}{25}} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.8

Riscrivi $\frac{(x + 10) x}{25}$ come ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 36.1.13.8.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(x + 10) x$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{25}} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.8.2

Scomponi la potenza perfetta $5^{2}$ su $25$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.8.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.9

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \frac{1}{5} \sqrt{(x + 10) x} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.13.10

$\frac{1}{5}$ e $\sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 10) x}}{5} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5 + \sqrt{(x + 10) x}}{5} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.15

Riordina i fattori in $x + 5 + \sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5 + \sqrt{x (x + 10)}}{5} |))}{2} + C$

Passaggio 36.1.16

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}))}{2} + C$

Passaggio 36.2

Per scrivere $- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot \frac{25}{25})}{2} + C$

Passaggio 36.3

$- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ e $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} + \frac{- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25})}{2} + C$

Passaggio 36.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25 \frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25}}{2} + C$

Passaggio 36.5

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 36.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 \frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25}}{2} + C$

Passaggio 36.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{2} + C$

Passaggio 36.6

Moltiplica $25$ per $- 1$ .

$\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})}{2} + C$

Passaggio 36.7

Riordina i fattori in $(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ .

$\frac{\sqrt{x (x + 10)} (x + 5) - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})}{2} + C$

Passaggio 37

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (\sqrt{x (x + 10)} (x + 5) - 25 \ln (\frac{1}{5} | x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |)) + C$