Calcolo Esempi

$\int \sin^{5} (x) \cdot \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\sin^{4} (x)$ .

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) \cdot \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) \cdot \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\sin (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cdot \cos^{2} (x) d x$

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cdot \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (x)$ come $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cdot \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

$- \sin (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} \cdot u^{2} d u$

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} \cdot u^{2} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} \cdot u^{2} d u$

Passaggio 6

Espandi ${(1 - u^{2})}^{2} \cdot u^{2}$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi ${(1 - u^{2})}^{2}$ come $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) \cdot u^{2} d u$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \int (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) \cdot u^{2} d u$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) \cdot u^{2} d u$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) \cdot u^{2} d u$

Passaggio 6.5

Applica la proprietà distributiva.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) \cdot u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) \cdot u^{2} d u$

Passaggio 6.6

Applica la proprietà distributiva.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot u^{2} + 1 (- u^{2}) \cdot u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) \cdot u^{2} d u$

Passaggio 6.7

Applica la proprietà distributiva.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot u^{2} + 1 (- u^{2}) \cdot u^{2} - u^{2} \cdot 1 \cdot u^{2} - u^{2} (- u^{2}) \cdot u^{2} d u$

Passaggio 6.8

Sposta $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} \cdot u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} \cdot u^{2} - u^{2} (- u^{2}) \cdot u^{2} d u$

Passaggio 6.9

Sposta $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} \cdot u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} \cdot u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} \cdot u^{2} d u$

Passaggio 6.10

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- \int 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.11

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$- \int u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \int u^{2} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.13

Metti in evidenza il valore negativo.

$- \int u^{2} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.14

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int u^{2} - u^{2 + 2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.15

Somma $2$ e $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.17

Metti in evidenza il valore negativo.

$- \int u^{2} - u^{4} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.18

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.19

Somma $2$ e $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.20

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.21

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.22

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2 + 2} u^{2} d u$

Passaggio 6.23

Somma $2$ e $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4} u^{2} d u$

Passaggio 6.24

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4 + 2} d u$

Passaggio 6.25

Somma $4$ e $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{6} d u$

Passaggio 6.26

Sottrai $u^{4}$ da $- u^{4}$ .

$- \int u^{2} - 2 u^{4} + u^{6} d u$

Passaggio 6.27

Riordina $- 2 u^{4}$ e $u^{6}$ .

$- \int u^{2} + u^{6} - 2 u^{4} d u$

Passaggio 6.28

Sposta $u^{2}$ .

$- \int u^{6} - 2 u^{4} + u^{2} d u$

$- \int u^{6} - 2 u^{4} + u^{2} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- (\int u^{6} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Passaggio 9

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{2} d u)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

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Passaggio 12.1.1

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 12.1.2

$\frac{1}{7}$ e $u^{7}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 12.1.3

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{u^{3}}{3} + C)$

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Passaggio 12.2

Semplifica.

$- (\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}) + C$

$- (\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{7} (x)}{7} - \frac{2 \cos^{5} (x)}{5} + \frac{\cos^{3} (x)}{3}) + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$- (\frac{1}{7} \cos^{7} (x) - \frac{2}{5} \cos^{5} (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$